Extremwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen. Ich habe eigentlich nur ein kurze Frage. Ich habe nun verschiedene Ausdrücke für die unterschiedlichsten Extremwerte von Funktionen gehört. Ich habe nun folgende Ausdrücke gehört.
Supremum: Hierbei handelt es sich im Prinzip um einen Grenzwert also um ein Maximum, dass nicht wirklich angenommen wird, sondern nur dagegen konvergiert.
Infimum: ANalog zum Supremum. Hierbei handelt es sich allerdings um den Grenzwert eines Minimums, welches nicht wirklich angenmommen wird, sondern nur dagegen konvergiert.
Nun habe ich das Problem zwischen globales und lokales Extremum. Wo besteht der Unterschied???
Welche Extremwerte kennt ihr noch so?? Könntet ihr meine Sammlung eventuell ergänzen wenn es noch mehr gibt???
Ich danke euch schonmal im vorraus. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Super dankeschön mache ich sofort...
Wie sieht das jetzt allerdings mit weiteren Extremarten aus??? Gibt es noch mehr außer den 4???
Mit den 4 meinte ich jetzt also.
Supremum, Infimum, lokales und globales Extremum. Oder kennt ihr noch mehr???
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Hallo,
mit den lokalen und globalen Extremwerten bist Du in Sachen "Extremwerte" komplett versorgt.
In diesen Dunstkreis passen noch die Begriffe
Supremum, Infimum
und
obere/untere Schranke.
Die Definitionen solltest Du parat haben.
Gruß v. Angela
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Ja ich habe mich gerade versucht darüber schlau zu machen. Also Supremum und Infimum sind ja nicht schwer.
Supremum: gibt es immer. Und konvergiert gegen eine Zahl, welche die Funktion nicht wirklich nimmt.
Infimum: analog zum Supremum.
lokales Extremum und globales Extremum habe ich nun folgendes gefunden: für Globale Extrema muss man die ganze Funktion betrachten, für lokale Extrema schaut man sich nur ein bestimmtes Intervall an.
Ich interpretier das jetzt so:
globales Extremum soll heißen, dass es sich um das größte Maximum bzw. kleinste Maximum handelt. Es werden also keine größeren oder kleineren Extremwerte angenommen.
lokales Extremum soll heißen, dass es sich um mehrere Maximum bzw. Minimum handelt.
Ich habe mir das jetzt folgendermaßen erklärt.
Nehmen wir mal [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Diese Funktion nimmt bei 0 ein lokales minimum an. Dieses ist gleichzeitig globales Minimum (da es kein kleineres gibt).
Nehmen wir mal die Funktion [mm] x^3+x^2
[/mm]
Diese Funktion nimmt bei 0 ebenfalls ein lokales minimum an. Dieses ist allerdings kein globales Minimum da die Funktion für x<-1 noch kleinere Werte annimt. Das heißt sie strebt ab dort gegen [mm] -\infty
[/mm]
Könntest du mir das mit der Schranke vielleicht erklären??? Konnte mir das noch nicht so richtig klarmachen!
Gruß domenigge135
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> Supremum: gibt es immer.
Hallo,
das stimmt nicht. Voraussetzung dafür, daß es ein Supremum gibt, ist, daß es eine obere Schranke gibt. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke.
> Und konvergiert gegen eine Zahl,
> welche die Funktion nicht wirklich nimmt.
das Supremum konvergiert überhaupt nicht.
Du meinst eher, daß die Funktionswerte bzw. eine Folge v. Funktionswerten dagegen konvergiert.
Ein Supremum darf durchaus angenommen werden als Funktionswert - dann ist es ein Maximum. Aber eben auch ein Supremum.
> lokales Extremum und globales Extremum habe ich nun
> folgendes gefunden: für Globale Extrema muss man die ganze
> Funktion betrachten, für lokale Extrema schaut man sich nur
> ein bestimmtes Intervall an.
Lokales Maximum: es gibt eine Umgebung, in welcher alle anderen Funktionswete kleiner sind.
>
> Ich interpretier das jetzt so:
> globales Extremum
Der größte/kleinste Wert, den die Funktion annimmt.
> Ich habe mir das jetzt folgendermaßen erklärt.
> Nehmen wir mal [mm]f(x)=x^2[/mm]
> Diese Funktion nimmt bei 0 ein lokales minimum an. Dieses
> ist gleichzeitig globales Minimum (da es kein kleineres
> gibt).
Ja.
> Nehmen wir mal die Funktion [mm]x^3+x^2[/mm]
> Diese Funktion nimmt bei 0 ebenfalls ein lokales minimum
> an. Dieses ist allerdings kein globales Minimum da die
> Funktion für x<-1 noch kleinere Werte annimt.
Ja.
Das heißt sie
> strebt ab dort gegen [mm]-\infty[/mm]
Deshalb hat sie kein Infimum.
>
> Könntest du mir das mit der Schranke vielleicht erklären???
> Konnte mir das noch nicht so richtig klarmachen!
Du kannst Supremum und Infimum nur verstehen, wenn Du Schranke kennst...
Ich habe hier mal etwas dazu geschrieben.
Gruß v. Angela
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Okay. Also obere Schranke heißt, kein Glied ist größer als diese Schranke. Untere Schranke heißt, kein GLied ist kleiner als diese Schranke. Nehmen wir z.B. [mm] f(x)=\bruch{5}{x}, [/mm] für x>0 auf ihrem natürlichen Bereich.
[mm] \bruch{5}{1}=5
[/mm]
[mm] \bruch{5}{2}=2,5
[/mm]
[mm] \bruch{5}{3}=1,\overline{6}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{4}=1,25
[/mm]
[mm] \bruch{5}{5}=1
[/mm]
[mm] \bruch{5}{6}=0,8\overline{3}
[/mm]
...
Das heißt, dass ich als obere Schranke 5 habe als untere Schranke nehme ich den Grenzwert. Hierbei handelt es sich um 0. Das heiß0t ich habe als untere Schranke 0.
Wie lässt sich das jetzt zusammen mit Supremum und Infimum erklären???
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> Okay. Also obere Schranke heißt, kein Glied ist größer als
> diese Schranke. Untere Schranke heißt, kein GLied ist
> kleiner als diese Schranke. Nehmen wir z.B.
> [mm]f(x)=\bruch{5}{x},[/mm] für x>0 auf ihrem natürlichen Bereich.
Was meinst Du damit?
Wohl dies:
[mm] f:\IN \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=\bruch{5}{x}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{5}{1}=5[/mm]
> [mm]\bruch{5}{2}=2,5[/mm]
> [mm]\bruch{5}{3}=1,\overline{6}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{4}=1,25[/mm]
> [mm]\bruch{5}{5}=1[/mm]
> [mm]\bruch{5}{6}=0,8\overline{3}[/mm]
> ...
>
> Das heißt, dass ich als obere Schranke 5 habe als untere
> Schranke nehme ich den Grenzwert. Hierbei handelt es sich
> um 0. Das heiß0t ich habe als untere Schranke 0.
ZumBeispiel sind die Von Dir angegebenen Schranken obere und untere Schranken.
Obere Schranken sind aber auch 37, 12345 und 5.75.
Untere Schranken sind aber auch -0.9, -3 und -4711.
>
> Wie lässt sich das jetzt zusammen mit Supremum und Infimum
> erklären???
Das Supremum ist die kleinste aller oberen Schranken, hier: 5.
das Infimum ist die größte aller unteren Schranken, hier: 0.
Gruß v. Angela
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Super dann hab i9ch das ja soweit ganz gut verstanden. Ich habe jetzt eine Aufgabe, die da lautet: Untersuchen SIe die FUnktion [mm] f:[-\bruch{1}{2}2] \to \IR, f(x)=\wurzel{x^4-2x^2+2} [/mm] auf globale Extrema.
statt [mm] f(x)=\wurzel{x^4-2x^2+2} [/mm] kann man ja nun auch schreiben [mm] f(x)=(x^4-2x^2+2)^\bruch{1}{2}. [/mm] DIes lässt sich nach der Kettenregel ableiten. [mm] f'(x)=\bruch{4x^3-4x}{2\wurzel{x^4-2x^2+2}}.Da [/mm] wir ein Polynom 3. grades haben, haben wir auch 3 Nullstellen. Nullstellen sind nun die Zählernullstellen. diese sind: x=-1,x=0,x=1. Da x=-1 für unser Intervall nicht interessant ist, fgällt x=-1 weg. Die Intervallgrenzen [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] und x=2 sind ebenfalls interessant.
Wie sieht das jetzt allerdings aus für die Ermittlung der globalen Extremwerte??? Aus der Oberstufe ist nun bekannt, dass [mm] f''(x_0)<0 [/mm] ein Maximum ist und [mm] f''(x_0)>0 [/mm] ein minimum ist. heißt das ich darf zur Prüfung der globalen extrema noch immer meine Nullstellen von f'(x) in f''(x) einsetzen???
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> Wie sieht das jetzt allerdings aus für die Ermittlung der
> globalen Extremwerte??? Aus der Oberstufe ist nun bekannt,
> dass [mm]f''(x_0)<0[/mm] ein Maximum ist und [mm]f''(x_0)>0[/mm] ein minimum
> ist. heißt das ich darf zur Prüfung der globalen extrema
> noch immer meine Nullstellen von f'(x) in f''(x)
> einsetzen???
Hallo,
ich habe nichts nachgerechnet.
Prinzipiell ermittelst Du hier erstmal die relativen Extrema haargenauso, wie Du es aus der Schule kennst.
Wenn welche außerhalb des zu betrachtenden Intervalls liegen würden, kämen die natürlich nicht infrage.
Wenn Du dies durchgeführt hast, hast Du Gipfel und Täler der Funktion in Deinem Intervall bestimmt.
Da Du ein abgeschlossenens Intervall hast, schau Du Dir nun noch die Funktionswerte in den Randpunkten an. Dann kannst Du entscheiden, welches die globalen Extremwert ist - es könnte ja sein, daß der Funktionswert am Rand größer ist als die Höhe eines gefundenen Gipfels.
Gruß v. Angela
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Okay. Also alles was ich nun noch wissen will ist, ob es okay ist immer so vorzugehen wie in der Oberstufe. Also so wie ich es aus der Schule kenne. Wenn ich dann alle Extremwerte gefunden habe, dann könnte ich doch anhand der Definitionen immernoch ermitteln, um welche Extremwerte es sich handelt oder???
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Hallo,
sofern Du es mit reellen, zweimal diffbaren Funktionen in Abhängigkeit von einer Variablen zu tun hast, bestimmst Du erstmal die relativen Extrema so, wie Du es in der Schule gelernt hast.
Dann denkst Du darüber nach, ob sie global sind. Hierzu sind generell die Ränder des Definitionsbereiches interessant.
Wenn Du es allerdings mit Funktionen zu tun hast, die nicht differenzierbar sind, muß die Strategie mit 1. Ableitung etc. natürlich scheitern.
Gruß v. Angela
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Ja das stimmt. Also am besten erstmal gucken, ob stetig und differenzierbar. Bevor man sich an die Extremwerte rantraut. Ich habe allerdings in einer Musterlösung zu dieser Aufgabe herausgefunden, dass die Nullstellen, die ich nun von dewr ersten Ableitung f'(x) gefunden habe nicht in f''(x) sondern in f(x) eingesetzt wurden. Wie kann ich diese Vorgehensweise interpretieren???
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Als groben Unfug, wenn damit die Art der Extrema bestimmt wurde 
Die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) gibt die Steigung der Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle x an.
Setze ich nun also Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung f''(x) ein, erhalte ich entweder einen Wert größer 0 [mm] (\to [/mm] Minimum) oder kleiner 0 [mm] (\to [/mm] Maximum) (für f''(x) = 0 ist es ein Sattelpunkt.).
Wenn ich die Nullstellen der ersten Ableitung in die Funktion f(x) selbst einsetze, erhalte ich die Funktionswerte der Extrempunkte, also die "Höhen"
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Und was kann ich nun wieder unter den höhen verstehen??? :-(
Ich habe noch eine letzte frage...
Wir hatten leider bisher nie den Fall, dass eine Funktion, bei der die Extrema bestimmt werden sollten nicht diff'bar war. Aber wie kann ich denn die Extrema finden, wenn sie nicht diff'bar ist, wenn nicht mit den ABleitungen???
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Die "Höhen" sind einfach die y-Werte der Extrempunkte, also die y-Koorinaten!
Bezüglich der Differenzierbarkeit:
Eigentlich ist jede Funktion, die im Unterricht besprochen wird differenzierbar, eine Ausnahme vielleicht der Betrag.
Wenn man eine nicht differenzierbare Funktion hat bezieht sich das ja auch meistens nicht auf die gesamte Funktion, sondern nur auf ein paar Stellen, wo sie entweder nicht definiert oder unstetig ist oder einen Knick hat. Dann muss man diese Stellen einfach separat prüfen, sei es mit Grenzwerten oder anderem.
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Super dann bedanke ich mich für die Tollen Informationen.
Mit freundlichen Grüßen Domenigge135.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Die "Höhen" sind einfach die y-Werte der Extrempunkte, also
> die y-Koorinaten!
>
> Bezüglich der Differenzierbarkeit:
> Eigentlich ist jede Funktion, die im Unterricht besprochen
> wird differenzierbar, eine Ausnahme vielleicht der Betrag.
> Wenn man eine nicht differenzierbare Funktion hat bezieht
> sich das ja auch meistens nicht auf die gesamte Funktion,
> sondern nur auf ein paar Stellen, wo sie entweder nicht
> definiert oder unstetig ist oder einen Knick hat. Dann muss
> man diese Stellen einfach separat prüfen, sei es mit
> Grenzwerten oder anderem.
Hallo,
bei globalen Extremas geht es nicht nur um solche exotischen Fälle wie "Knicke" und Unstetigkeitsstellen.
Nimm einfach die Funktion [mm] y=(x^2-1)^2 [/mm] und schränke den Definitionsbereich auf das Intervall [mm] -3\le x\le [/mm] 4 ein.
Zwar gibt es mit y=1 ein lokales Maximum bei x=0, aber am rechten Intervallrand ist der Funktionswert am allergrößten, deshalb ist f(4)=225 das globale Maximum.
Gruß Abakus
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