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| Aufgabe 1 | ÜB10 Aufgabe 4: Man eliminiere bei den in Parameterdarstellung gegebenen Abbildungen den Parameter t und mache Skizzen im x-y Koordinatensystem von den so erhaltenen Relationen.
Welche davon sind Graph einer Funktion?
Welche Werten x sind in den verschiedenen Teilaufgaben möglich?
f)
x = 5t²/(1+t²)
y = t³/(1+t²)
Endergebniss soll lauten:
y² = (x³/25)*(5-x)
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| Aufgabe 2 | g)
x = a cos (t)
y = b sin (t)
Endergebniss soll lauten:
(x²/a²) + (y²/b²) = 1
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| Aufgabe 3 | h)
x = sin³(t)
y = cos³(t)
Endergebniss soll lauten:
x^(2/3)+y^(2/3) = 1 |
| Aufgabe 4 | i)
x = sin (t)
y = cos (2t)
Endergebniss soll lauten:
y = 1 - 2x²
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Nun denn, meine Fragen wären:
Wie sieht der richtige Lösungsweg zu den vier Aufgaben aus ?
Wo liegen meine Fehler ?
Was übersehe ich ?
Welche Regeln beachte ich nicht ?
Ich komme einfach nicht auf das/die Ergebniss/e, obgleich diese leicht aussehen was... mich derzeit etwas deprimiert! :(
Ich habe alle jeweils bei x nach t umgestellt! Dies dann in das "ylon -> t" eingesetzt! Bei den vorherigen Aufgaben hat dies auch ganz wunderbar funktioniert!
f)
x = 5t²/(1+t²)
y = t³/(1+t²)
t = [mm] \wurzel{\bruch{x}{5-x}}
[/mm]
y * [mm] (1+(\wurzel{\bruch{x}{5-x}})²) [/mm] = [mm] (\wurzel{\bruch{x}{5-x}})³
[/mm]
y * [mm] (1+\bruch{x}{5-x}) [/mm] = [mm] (\bruch{x}{5-x})^\bruch{1}{6}
[/mm]
6y = [mm] \bruch{\bruch{x}{5-x}}{1+\bruch{x}{5-x}}
[/mm]
Und ab hier kam viel Murks heraus... Mag sein das ich etwas übermüdet bin! Wäre über eure Hilfe dankbar!
g)
x = a cos (t)
y = b sin (t)
[mm] \bruch{x}{a}=cos [/mm] t
t = arccos [mm] \bruch{x}{a}
[/mm]
y = b * [mm] cos(arccos(\bruch{x}{a}))
[/mm]
//cos & arccos heben sich auf
y = b * [mm] \bruch{x}{a}
[/mm]
Und hier hänge ich dann!
h)
x = sin³(t)
y = cos³(t)
[mm] \wurzel[3]{x} [/mm] = sin t
t = [mm] arcsin(\wurzel[3]{x})
[/mm]
y = [mm] cos³(arcsin(\wurzel[3]{x}))
[/mm]
Hier stecke ich fest.
i)
x = sin (t)
y = cos (2t)
t = arcsin(x)
y = cos(2*arcsin(x))
Hier stecke ich ebenso fest.
Nach mehrmaligem hin und her und zich ausgefüllten und druchgestrichenen Seiten bin ich derzeit müde und planlos!
Würde mich über eine Antwort und Hilfestellungen oder Lösungswege freuen!
MFG
Dennis
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zerberus, äh, Kerberos,
netter Nick für einen Höllenhund! 
Du gehst zu mechanisch vor. Das klappt dann leider nicht immer.
> Ich habe alle jeweils bei x nach t umgestellt! Dies dann in
> das "ylon -> t" eingesetzt! Bei den vorherigen Aufgaben hat
> dies auch ganz wunderbar funktioniert!
Tja. Hier funktioniert es nur eingeschränkt.
> f)
> x = 5t²/(1+t²)
> y = t³/(1+t²)
>
> t = [mm]\wurzel{\bruch{x}{5-x}}[/mm]
>
> y * [mm](1+(\wurzel{\bruch{x}{5-x}})²)[/mm] =
> [mm](\wurzel{\bruch{x}{5-x}})³[/mm]
>
> y * [mm](1+\bruch{x}{5-x})[/mm] = [mm](\bruch{x}{5-x})^\red{\bruch{1}{6}}[/mm]
Halt. Bis hierhin wars noch richtig, aber das [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ist falsch. Da müsste dann [mm] \bruch{3}{2} [/mm] stehen!
> 6y = [mm]\bruch{\bruch{x}{5-x}}{1+\bruch{x}{5-x}}[/mm]
...und selbst wenn der Exponent gestimmt hätte: so bekommst Du ihn nicht weg! Ich würde Dir empfehlen, mit dem richtigen Exponenten zu arbeiten und beide Seiten der Gleichung zu quadrieren. Dann hast Du zwar immer noch genug herumzurechnen, aber keine Wurzel mehr, und nach geeigneten Umformungen kommst Du auf die angegebene Lösung des Aufgabenblatts.
> Und ab hier kam viel Murks heraus... Mag sein das ich etwas
> übermüdet bin! Wäre über eure Hilfe dankbar!
Die Übermüdung glaube ich, aber der Murks war vorher, siehe oben.
> g)
> x = a cos (t)
> y = b sin (t)
>
> [mm]\bruch{x}{a}=cos[/mm] t
> t = arccos [mm]\bruch{x}{a}[/mm]
>
> y = b * [mm]\red{sin}(arccos(\bruch{x}{a}))[/mm]
> //cos & arccos heben sich auf
Das steht da aber leider nicht. So kommst Du bei den nächsten drei Aufgaben nicht weiter. Du brauchst eine Beziehung, die Sinus und Cosinus irgendwie verbindet, ohne dabei neue Funktionen mit hineinzuholen (wie z.B. den Tangens). Da fällt mir auf Anhieb nur der "trigonometrische Pythagoras" ein: [mm] \blue{sin^2+cos^2=1}
[/mm]
Das darf man natürlich eigentlich nicht so schreiben, die Funktionen haben hier kein Argument, und das muss auch noch das gleiche sein...
Darauf willst Du Deine Vorlagen irgendwie bringen.
Also nochmal:
> g)
> x = a cos (t)
> y = b sin (t)
>
[mm] \bruch{x}{a}=\cos{t} [/mm] und [mm] \bruch{y}{b}=\sin{t}
[/mm]
Also [mm] 1=\sin^2{t}+\cos^2{t}=\left(\bruch{x}{a}\right)^2+\left(\bruch{y}{b}\right)^2
[/mm]
> h)
> x = sin³(t)
> y = cos³(t)
>
> [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] = sin t
> t = [mm]arcsin(\wurzel[3]{x})[/mm]
>
> y = [mm]cos³(arcsin(\wurzel[3]{x}))[/mm]
>
> Hier stecke ich fest.
Klar.
Forme die für y gegebene Gleichung genauso um wie die erste, und löse nach [mm] \cos{t}=\cdots [/mm] auf.
Dann weiter wie oben (trigon.Pyth.)
> i)
> x = sin (t)
> y = cos (2t)
>
> t = arcsin(x)
>
> y = cos(2*arcsin(x))
>
> Hier stecke ich ebenso fest.
Das ist schon schwieriger. Hier musst Du erst einmal [mm] \cos{(2t)} [/mm] per Additionstheorem so umformen, dass da erstmal nur noch ein Term aus [mm] \sin{t} [/mm] und [mm] \cos{t} [/mm] steht. Diesen kannst Du dann (wieder per trigon.Pyth.) leicht so umformen, dass kein Cosinus mehr darin steht, und schließlich den [mm] \sin{t} [/mm] einfach durch x ersetzen. Fertig.
> Nach mehrmaligem hin und her und zich ausgefüllten und
> druchgestrichenen Seiten bin ich derzeit müde und planlos!
>
> Würde mich über eine Antwort und Hilfestellungen oder
> Lösungswege freuen!
>
> MFG
> Dennis
Viel Erfolg!
reverend
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Hallo reverend,
vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
Damit hätte ich heute gar nicht mehr gerechnet! :)
Ja, Aufgabe g) wollte ich gerade ergänzen - daher hatte ich mich nocheinmal eingeloggt! :)
Habe diese mitlerweilen gelöst :)
Danke für deine Zeit & deine Hilfestellungen! Werde dies einmal durcharbeiten! Denke damit komme ich schon mal weiter!
Melde mich morgen, spätestens Freitag noch einmal - falls noch Fragen offen sind! :)
PS: thx verwende Kerberos gerne insbesondere ist er ja zweideutig zum einen die griechische Mythologie zum anderen aber auch in der EDV ansässig (Netzwerkprotokoll, ermöglichte damals den Angriff mittels Man-in-the-middel-Attack durch eine Lücke im Protokoll)!
Und wenn man an "Fantasy" wie Harry Potter oder der gleichen denkt so werden Mythologien immer wieder gerne verbaut! ;)
Aufgabe:
g)
x = a * cos (t)
y = b * sin (t)
t = [mm] arccos(\bruch{x}{a})
[/mm]
y = b * [mm] sin(arccos(\bruch{x}{a})) [/mm] |()²
y² = b² * [mm] sin²(arccos(\bruch{x}{a}))
[/mm]
[mm] \bruch{y²}{b²} [/mm] = 1 - [mm] cos²(arccos(\bruch{x}{a}))
[/mm]
So und nun kürzt sich Kosinus weg ;)
[mm] \bruch{y²}{b²} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{x²}{a²}
[/mm]
[mm] \bruch{y²}{b²} [/mm] + [mm] \bruch{x²}{a²} [/mm] = 1
Danke nochmal :) werde mich heute noch an den anderen versuchen!
PS: Viel Tee & nen offenes Fenster hilft gegen die Müdigkeit ;)
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| Aufgabe | ÜB10 Aufgabe 4: Man eliminiere bei den in Parameterdarstellung gegebenen Abbildungen den Parameter t und mache Skizzen im x-y Koordinatensystem von den so erhaltenen Relationen.
Welche davon sind Graph einer Funktion?
Welche Werten x sind in den verschiedenen Teilaufgaben möglich?
f)
x = [mm] \bruch{5t²}{(1+t²)}
[/mm]
y = [mm] \bruch{t³}{(1+t²)} [/mm]
Endergebniss soll lauten:
y² = [mm] \bruch{x³}{(25*(5-x))}
[/mm]
//Umgeschrieben wäre dies ja:
y² = [mm] \bruch{x³}{(125*-x³)}
[/mm]
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Hallo @ reverend & an alle anderen User hier im Forum!
Mit der Aufgabe f) komme ich irgendwie nicht weiter! :(
f)
x = [mm] \bruch{5t²}{(1+t²)}
[/mm]
y = [mm] \bruch{t³}{(1+t²)} [/mm]
//Umstellung von x
x * (1+t²) = 5t²
x + xt² = 5t²
x = 5t² - xt²
x = t² (5-x)
t = [mm] \wurzel{\bruch{x}{(5-x)}}
[/mm]
//Ich habe deinen Rat befolgt und das ganze Quadriert:
y = [mm] (\bruch{t³}{(1+t²)})²
[/mm]
y² = [mm] \bruch{t³^*^2}{(1^2+t²^*^2)} [/mm]
y² = [mm] \bruch{t^6}{(1+t^4)} [/mm]
y² = [mm] \bruch{(\wurzel{\bruch{x}{(5-x)}})^6}{(1+(\wurzel{\bruch{x}{(5-x)}})^4)} [/mm]
//Nun habe ich die Wurzel rausgezogen mittel des Potensregel [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 6 & [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 4
y² = [mm] \bruch{(\bruch{x}{(5-x)})^3}{(1+(\bruch{x}{(5-x)})^2)} [/mm]
y² = [mm] \bruch{\bruch{x³}{5³-x³}}{1+\bruch{x²}{5²-x²}} [/mm]
//Bis hierhin ging es! Aber ab hier komme ich immer ins stottern! :( (Im Grunde stört mich das +)
y² * [mm] (1+\bruch{x²}{5²-x²}) [/mm] = [mm] \bruch{x³}{5³-x³}
[/mm]
y² + y² * [mm] \bruch{x²}{5²-x²} [/mm] = [mm] \bruch{x³}{5³-x³}
[/mm]
y² = [mm] \bruch{x³}{5³-x³} [/mm] - y² * [mm] \bruch{x²}{5²-x²}
[/mm]
//Ausklammern ?
y² [mm] =\bruch{x²}{5²-x²} [/mm] * [mm] (\bruch{x}{5-x} [/mm] - y²)
//" - y²" ...
[mm] \bruch{y²}{(\bruch{x}{5-x} - y²)} =\bruch{x²}{5²-x²} [/mm]
Komme damit derzeit einfach nicht weiter... Übersehe garantiert wieder irgend eine Kleinigkeit :(
Wäre schön wenn Ihr mir einen Gedankenstoß verpassen könntet was ich falsch mache!
Oder über welche Stelle ich noch einmal nachdenken sollte!
MFG
Dennis
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Hallo Dennis,
Du übersiehst durchweg die "Kleinigkeit", dass es binomische Formeln gibt, auch für höhere Potenzen als 2.
Jedenfalls ist [mm] (1+t^2)^2=1+2t^2+t^4\not=1^2+t^4
[/mm]
und [mm] (5-x)^3=5^3-3*5^2x+3*5x^2-x^3\not=5^3-x^3
[/mm]
Ich finde übrigens vom Ansatz her folgende Rechnung leichter:
[mm] 1+t^2=\bruch{5t^2}{x}=\bruch{t^3}{y}\Rightarrow t=5\bruch{y}{x}
[/mm]
Das jetzt in die Formel für x wieder eingesetzt ergibt nach wenigen Umformungen genau das gesuchte Ergebnis.
lg,
reverend
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Hi reverend,
ja Binome... übersehe ich leider nur all zu gerne! :(
Obgleich ich diese kenne und auch das Pascalsche Dreieck und und und...
Danke dir! :)
Werde mich also noch ein "Öhm" - x'stes mal an der Aufgabe versuchen! ;) Muß ja zu schaffen sein! ;)
MFG
Dennis
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Hi,
danke noch mal, auf das Additionstheorem wäre ich in dem Fall nie gekommen!
Aufgaben
h)
x = sin³(t)
y = cos³(t)
t = [mm] arcsin(\wurzel[3]{x})
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{y} [/mm] = cos(t)
[mm] \wurzel[3]{y} [/mm] = [mm] cos(arcsin(\wurzel[3]{x})) [/mm] |()²
[mm] (\wurzel[3]{y})² [/mm] = [mm] 1-sin²(arcsin(\wurzel[3]{x}))
[/mm]
[mm] 1-(\wurzel[3]{x})² [/mm] = [mm] (\wurzel[3]{y})²
[/mm]
[mm] //(\wurzel[3]{x})² [/mm] <=> [mm] x^\bruch{1}{3}^*^2
[/mm]
[mm] //(\wurzel[3]{y})² [/mm] <=> [mm] y^\bruch{1}{3}^*^2
[/mm]
[mm] 1-x^\bruch{2}{3} [/mm] = [mm] y^\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] y^\bruch{2}{3} [/mm] + [mm] x^\bruch{2}{3} [/mm] = 1
i)
x = sin(t)
y = cos(2t)
y = cos(2*arcsin(x)) <=> y = cos(arcsin(x)+arcsin(x))
//Additionstheorem
y = cos(arcsin(x))*cos(arcsin(x))-sin(arcsin(x))*sin(arcsin(x))
y = cos²(arcsin(x)) - sin²(arcsin(x))
y = 1 - sin²(arcsin(x)) - sin²(arcsin(x))
y = 1 - x² -x²
y = 1 - 2x²
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 15.01.2009 | | Autor: | reverend |
Das sieht doch gut aus.
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