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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] D\subset\IC [/mm] eine offene zusammenhängende Menge, die den Abschluss der offenen Kreisscheibe [mm] K_{r}=\{z: |z|
Zeigen Sie: Wenn [mm] f:D\to\IC [/mm] holomorph ist und |f| auf dem Rand [mm] \partialK_{r} [/mm] konstant ist, dann ist f konstant oder f besitzt in [mm] K_{r} [/mm] eine Nullstelle. |
Hallo,
ich habe folgende Überlegungen:
Eine holomorphe Funktion nimmt ihr Maximum auf dem Rand. Also ist Maximum von f konstant.
D.h. [mm] \existses z_{0}\in \overline{K_{r}}, [/mm] so dass [mm] |f(z_{})| \le |f(z_{0})|
[/mm]
Nach dem Maximum_Prinzip ist f konstant.
Ich bin mir nicht sicher, ob das ein korrekter Beweis ist. Außerdem weiß ich nicht, wie f eine Nullstelle in [mm] K_{r} [/mm] besitzen kann.
Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Minimumprinzip
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | Es sei [mm] D\subset\IC [/mm] eine offene zusammenhängende Menge, die den Abschluss der offenen Kreisscheibe [mm] K_{r}=\{z: |z|
Zeigen Sie: Wenn [mm] f:D\to\IC [/mm] holomorph ist und |f| auf dem Rand [mm] \partialK_{r} [/mm] konstant ist, dann ist f konstant oder f besitzt in [mm] K_{r} [/mm] eine Nullstelle.
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Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt zeigen, dass die Bedigungen vom Minimum-Prinzip erfüllt sind.
D.h. [mm] f:D\to\IC [/mm] holomorph. Das Gebiet [mm] K_{r}=\{z: |z|
Ich nehme jetzt an, [mm] f(z_{}) \not=0 [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] D. Dann muss ich nur zeigen:
Es existiert ein [mm] z_{0} \in K_{r}, [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] z [mm] \in K_{r} [/mm] gilt [mm] |f(z_{0})|\le|f(z_{})|.
[/mm]
Somit sind alle Bedingungen vom Minimum_Prinzip erfüllt und daraus folgt f ist konstant.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich habe vor geraumer Zeit nahezu dieselbe Frage gestellt. Siehe mal hier:
https://matheraum.de/read?t=541421
Das sollte Dir sicherlich weiterhelfen, oder die Frage gar ganz beantworten.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Danke, das hat mir geholfen. Aber ich bin ein wenig verwirrt, denn mir wurde als Tipp Minimum_Prinzip vorgeschlagen. Bei der Frage auf dieser Adresse ist nur Rede vom Maximum-Prinzip.
Nehmen wir an, f hat keine Nullstelle in [mm] K_{r}. [/mm] Dann kann ich eine holomorphe Hilfsfunktion definieren:
[mm] g:K_{r}\to\IC [/mm] mit [mm] g(z_{}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{|f(z_{})|}
[/mm]
g besitzt auch keine Nullstelle in [mm] K_{r} [/mm] und ist auf dem [mm] \partial K_{r} [/mm] konstant da [mm] |f(z_{})| [/mm] auf dem [mm] \partial K_{r} [/mm] konstant ist.
Außerdem besitzt g ihr Maximum auf dem [mm] \partial K_{r} [/mm] , da g holomorph ist. D.h. max. von g ist auch konstant.
Für alle [mm] z_{} \in K_{r} [/mm] gilt [mm] g(z_{}) \le g(\partial K_{r})= \bruch{1}{|f(\partial K_{r})|}.
[/mm]
Nach der Umformung folgt: [mm] |f(\partial K_{r})|\le\bruch{1}{g(z_{})} [/mm] für [mm] \forall [/mm] z [mm] \in K_{r}
[/mm]
Was habe ich aber erreicht? Ich sollte zeigen, f ist konstant. Wie geht es weiter? Soll ich jetzt das Minimum_Prinzip auf g anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
[mm] $\underline{\text{Erinnerung:}}$
[/mm]
[mm] \textit{Maximumprinzip (f"ur beschränkte Gebiete)}: $D\subset\IC$ [/mm] beschränktes Gebiet, [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph, [mm] $f:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig mit [mm] $\overline{D}:=D\cup\partial [/mm] D$. Dann gilt: [mm] $\left|f\right|$ [/mm] nimmt sein Maximum auf dem Rand [mm] $\partial [/mm] D$ an, d.h.
[mm] $\left|f(z)\right|\leqslant\max_{C\in\partial D}\left|f(C)\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
oder anders
[mm] $\exists\,C\in\partial D:\;\left|f(z)\right|\leqslant\left|f(C)\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
Zusatz: Gleichheit gilt genau dann, wenn $f$ konstant ist.
[mm] \textbf{Lösung:} [/mm] (Deiner Aufgabe)
[mm] $\underline{\text{1. Fall:}}$ [/mm] ($f$ besitzt eine Nullstelle [mm] $\overline{D}$). [/mm] Dann sind wir fertig.
[mm] $\underline{\text{2. Fall:}}$ [/mm] ($f$ besitzt keine Nullstelle in [mm] $\overline{D}$). [/mm] Da [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph und [mm] $|f|:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig ist, folgt, dass [mm] $f:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig ist. Da [mm] $D\subset\IC$ [/mm] ein Gebiet, [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph und [mm] $f:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig ist, folgt aus dem Maximumprinzip
[mm] $\exists\,C_1\in\partial D:\;\left|f(z)\right|\leqslant\left|f(C_1)\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
Da $f$ keine Nullstelle in [mm] $\overline{D}$ [/mm] besitzt, gilt [mm] $0<\left|f(z)\right|$ [/mm] und hieraus schließen wir vorab einmal [mm] $\frac{1}{\left|f(z)\right|}\geqslant\frac{1}{\left|f(C_1)\right|}$ [/mm] für jedes [mm] $z\in\overline{D}$. [/mm] Als nächstes betrachten wir die Funktion [mm] $\frac{1}{f}$, [/mm] die (da $f$ keine Nullstellen in [mm] $\overline{D}$ [/mm] besitzt) auf ganz [mm] $\overline{D}$ [/mm] definiert ist. Da [mm] $D\subset\IC$ [/mm] ein beschränktes Gebiet, [mm] $\frac{1}{f}:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph (wegen [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph) und [mm] $\frac{1}{f}:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig (wegen [mm] $f:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig) ist, folgt aus dem Maximumsprinzip
[mm] $\exists\,C_2\in\partial D:\;\left|\frac{1}{f(z)}\right|\leqslant\left|\frac{1}{f(C_2)}\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
Setzen wir die beiden Resultate des Maximumprinzips zusammen, so haben wir
[mm] $\frac{1}{\left|f(C_1)\right|}\leqslant\frac{1}{\left|f(z)\right|}\leqslant\left|\frac{1}{f(C_2)}\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
Da [mm] $\left|f\right|$ [/mm] konstant auf dem Rand [mm] $\partial [/mm] D$ ist, gilt [mm] $\left|f(C_1)\right|=\left|f(C_2)\right|$ [/mm] und damit
[mm] $\frac{1}{\left|f(C_1)\right|}=\frac{1}{\left|f(z)\right|}=\left|\frac{1}{f(C_2)}\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
Damit ist die Funktion [mm] $\frac{1}{\left|f\right|}$ [/mm] und daher auch die Funktion [mm] $\left|f\right|$ [/mm] konstant auf [mm] $\overline{D}$. [/mm] Nun wenden wir
ein letztes Mal das Maximumsprinzip an: Da [mm] $D\subset\IC$ [/mm] ein Gebiet, [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph und [mm] $f:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm]
stetig ist, folgt - wie oben bereits behandelt - aus dem Maximumprinzip
[mm] $\exists\,C_1\in\partial D:\;\left|f(z)\right|\leqslant\left|f(C_1)\right|\quad\forall\,z\in\overline{D}$
[/mm]
Da $|f|$ aber konstant ist, gilt sogar [mm] $|f(z)|=|f(C_1)|$ [/mm] für jedes [mm] $z\in\overline{D}$. [/mm] Nach dem Zusatz des Maximumprinzips folgt aus der
Gleichheit, dass [mm] $f:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] konstant ist.
Gruß Denny
P.S.: Sorry, dass ich auf die konkreten Probleme Deines Beweises nicht eingegangen bin, aber mir fehlt momentan die Zeit. Ich hoffe, dass Dir dies nun weiterhilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mo 08.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hi Denny,
herzlichen Dank. Ich habe das gut verstanden.
Grüße
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