Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
Definition einer Nullfolge:
Die Folge $n -> [mm] a_n (n\in\IN\sub)$ [/mm] hat den Grenzwert 0, wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ eine Zahl S gibt, so dass [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle n > S.
Damit kann man dann nachweisen ob die Folge den Grenzwert 0 besitzt. Zum Beispeil bei dieser Folge $n -> [mm] \bruch{n+1}{n}$, [/mm] dies setzt man für [mm] $a_n$ [/mm] ein und berechnet, ob es für ein beliebiges [mm] $\epsilon$ [/mm] eine Zahl S gibt, ab der alle Folgeglieder kleiner als [mm] $\epsilon$ [/mm] sind.
[mm] $|\bruch{n+1}{n}| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Wie rechne ich dann weiter? Außerdem wäre um eine verständliche Erklärung des Grenzwertes einer Nullfolge sehr dankbar.
Definition einer Folge mit von Null verschiedenem Grenzwert:
Eine Folge $n -> [mm] a_n (n\in\IN\sub)$ [/mm] hat den Grenzwert [mm] $g\in\IR$, [/mm] wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ eine Zahl S gibt, so dass [mm] $|a_n [/mm] - g| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle n > S.
Hierbei blicke ich auch nicht ganz durch, ich muss also den Grenzwert g von den Folgegliedern abziehen, dass diese somit kleiner als [mm] $\epsilon$ [/mm] sind. Hierbei wäre ich auch um eine verständliche Erklärung mit Beispiel sehr dankbar.
Steh hierbei etwas auf dem Schlauch, ich kann mir dies einfach nicht vorstellen. Vielen Dank im Voraus.
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Morgen itse,
deine Folge [mm] (a_n)_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)_n [/mm] hat doch den Grenzwert [mm] \red{1}
[/mm]
Diesen musst du auch bei der Betragsabschätzung nehmen:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] >0$
Nun musst du [mm] \left|\frac{n+1}{n}-\red{1}\right| [/mm] abschätzen:
Und zwar wie folgt:
[mm] \left|\frac{n+1}{n}-1\right|=\left|\frac{n+1}{n}-\frac{n}{n}\right|=\frac{1}{n}
[/mm]
Und das soll < [mm] \varepsilon [/mm] sein, also
[mm] \frac{1}{n}<\varepsilon\Rightarrow n\red{>}\frac{1}{\varepsilon}
[/mm]
Wähle also [mm] $S>\frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] bzw. genauer [mm] $S:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ [/mm] , wobei [] die Gaußklammer sein soll.
Dann gilt die Abschätzung für alle $n>S$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
Danke für die Antwort, ich wäre trotzdem um eine Erklärung zum besseren Verständnis dankbar. Damit ich mal bei diesen Definitionen durchblicke, zum Beispiel warum muss ich den Grenzwert abziehen, so dass das Folgeglied kleiner epsilon ist? Somit komm ich doch auf de n-Achse auf Null, oder?
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> Danke für die Antwort, ich wäre trotzdem um eine Erklärung
> zum besseren Verständnis dankbar.
Hallo,
was ein Grenzwert ist, hatte ich Dir doch gerade vor ein paar Tagen erklärt!
Ich schrieb u.a.:
"Was ist denn ein Grenzwert? Mal grob gesprochen: die Folgenglieder rücken beliebig dicht an den Grenzwert heran, was bedeutet, daß die Differenz zwischen Grenzwert und Folgengliedern beliebig klein wird."
Und genau diese Differenz ist zu betrachten.
Du zeigst, daß es zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] eine natürliche Zahl S gibt, so daß ab dem (S+1)-ten Folgenglied alle Folgenglieder dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an dem Grenzwert dran liegen.
Beachten mußt Du folgendes: Du zeigst so, daß ein Wert, welchen Du verdächtigst, ein Grenzwert zu sein, wirklich einer ist. Du brauchst also zuerst einen potentiellen Grenzwert, bevor Du zu subtrahieren beginnst. Ist ja eigentlich klar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
danke für die vorherigen Antworten, nun passt es denke ich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier weiß ich nicht was damit gemeint ist. Soll man für n beliebige Zahlen einsetzen und schauen ob die Folge sich an einen Wert (Grenzwert) annähert?
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) [mm] $\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n²}) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{1}{n²} [/mm] = 0 + 0 = 0$
b) [mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n³} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1/n²-1/n³}{1} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{n²}-\bruch{1}{n³}) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n²} [/mm] - [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n³} [/mm] = 0 - 0 = 0$
c) [mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{3n²}{n³-n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n}{1-1/n²} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 3n}{\limes_{n \to \infty} 1- \limes_{n \to \infty} 1/n²} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 3n}{1-0};$ [/mm] Man erhält den Limes einer divergenten Folge geteilt durch eins. Die gesamte Folge ist also auch divergent.
d) [mm] $\limes_{n \to \infty} (0,2*(-2)^n) [/mm] = [mm] [$\limes_{n \to \infty} [/mm] 0,2 * [mm] $\limes_{n \to \infty} (-2)^n] [/mm] = 0,2 * [mm] (-2)^n$, [/mm] hierbei komm ich aber nicht weiter was soll ich mit dem n machen?
e) [mm] $\limes_{n \to \infty} [(2+\bruch{1}{n})(1-\bruch{1}{n})] [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} (2+\bruch{1}{n}) [/mm] * [mm] \limes_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] (\limes_{n \to \infty} [/mm] 2 + [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n}) [/mm] * [mm] (\limes_{n \to \infty} [/mm] 1 - [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n}) [/mm] = (2+0) * (1-0) = 2$
f) [mm] $\limes_{n \to \infty} (\bruch{5n-2}{n})² [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{5-2/n}{1})² [/mm] = [mm] [\limes_{n \to \infty} [/mm] 5 - [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2}{n})²] [/mm] = (5 - 0)² = 25$
Stimmen die Ergebnisse und vor allem ist die Syntax so richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo Zusammen,
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> danke für die vorherigen Antworten, nun passt es denke
> ich.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hier weiß ich nicht was damit gemeint ist. Soll man für n
> beliebige Zahlen einsetzen und schauen ob die Folge sich an
> einen Wert (Grenzwert) annähert?
Hallo,
Du sollst gucken, ob die Folgen konvergieren oder nicht.
Bei a) würdest Du untersuchen, ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5n^2-1}{n^3+1} [/mm] existiert, und wie dieser Grenzwert ggf. lautet.
>
>
> a) [mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{n} + \bruch{1}{n²}) = \limes_{n \to \infty}\bruch{1}{n} + \limes_{n \to \infty}\bruch{1}{n²} = 0 + 0 = 0[/mm]
Richtig.
>
> b) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n-1}{n³} = \limes_{n \to \infty} \bruch{1/n²-1/n³}{1} = \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{n²}-\bruch{1}{n³}) = \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n²} - \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n³} = 0 - 0 = 0[/mm]
Richtig.
>
> c) [mm][mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n²}{n³-n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n}{1-1/n²} [/mm]
Dieser Schritt stimmt nicht.
>
> d) [mm]\limes_{n \to \infty} (0,2*(-2)^n) = [[/mm][mm] \limes_{n \to \infty}[/mm]
> 0,2 * [mm][mm] \limes_{n \to \infty} (-2)^n] [/mm]
Nun mußt Du erstmal überlegen, ob es den [mm] \limes_{n \to \infty} (-2)^n [/mm] gibt.
Was passiert denn, wenn Du sehr große n einsetzt? Gibt es eine Zahl, der sich [mm] (-2)^n [/mm] annähert? Geht es gegen [mm] \infty? [/mm] Oder passiert womöglich noch Furchtbareres?
Die beiden letzten Aufgaben stimmen dann wieder, und Du hast es auch richtig aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
> e) [mm]\limes_{n \to \infty} [(2+\bruch{1}{n})(1-\bruch{1}{n})] = \limes_{n \to \infty} (2+\bruch{1}{n}) * \limes_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{n}) = (\limes_{n \to \infty} 2 + \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n}) * (\limes_{n \to \infty} 1 - \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n}) = (2+0) * (1-0) = 2[/mm]
>
> f) [mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{5n-2}{n})² = \limes_{n \to \infty} (\bruch{5-2/n}{1})² = [\limes_{n \to \infty} 5 - \limes_{n \to \infty} \bruch{2}{n})²] = (5 - 0)² = 25[/mm]
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> Stimmen die Ergebnisse und vor allem ist die Syntax so
> richtig?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
Okay, danke für die Antwort.
Nun zu erstens:
a) [mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{5n²-1}{n³+1} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{5/n-1/n³}{1+1/n³} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty}5/n-1/n³}{\limes_{n \to \infty}1+1/n³} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty}5/n - \limes_{n \to \infty} 1/n³}{\limes_{n \to \infty} 1 + \limes_{n \to \infty} 1/n³} [/mm] = [mm] \bruch{0-0}{1+0} [/mm] = 0$
b) [mm] $\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] 2^n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5}) [/mm] * [mm] \limes_{n \to \infty} (2^n)$, [/mm]
hier habe ich große Zahlen für n eingesetzt, und bei n=332 ist Schluss, es kommt ca $8,75*10^99$ raus. Was soll mir dies sagen? somit wächst n nicht unendlich.
c) [mm] $\limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] 2)^n] [/mm] = [mm] (\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \limes_{n \to \infty} 2)^n [/mm] = (0,2 * [mm] 2)^n$, [/mm]
auch hier habe ich große Zahlen für n eingesetzt, und bei n=248 ist Schluss, es kommt ca $2,04*10^99$ raus. Hier die gleiche Frage wie bei b).
d) [mm] $\limes_{n \to \infty} [/mm] [cos(n* [mm] \bruch{\pi}{3}] [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] (cos) * [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] (n* [mm] \bruch{\pi}{3}$, [/mm]
hier habe ich auch versucht große Zahlen einzusetzen, hier glaube ich wächst n unendlich, also ist die Folge divergent, oder?
e) hierbei muss man wahrscheinlich die Folge selbst aufschreiben, hierbei bin ich auf dies gekommen
[mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{n}{n}+\bruch{n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2n+n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3-1/n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 3 - \limes_{n \to \infty} 1/n}{\limes_{n \to \infty} 2}$ [/mm] = [mm] \bruch{3-0}{2} [/mm] = 1,5
nun zu zweitens:
c) $ [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n²}{n³-n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3/n}{1-1/n²} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 3/n}{\limes_{n \to \infty} 1 - \limes_{n \to \infty} 1/n²} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 0}{1-0} [/mm] = 0 $
müsste nun passen, oder?
d) $ [mm] \limes_{n \to \infty} (0,2\cdot{}(-2)^n) [/mm] = [ $$ [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] $ 0,2 * $ [mm] \limes_{n \to \infty} (-2)^n] [/mm] = 0,2 [mm] \cdot{} (-2)^n [/mm] $, hierbei wächst n bis 332, es kommt $8,75*10^99$ raus. Nun weiß ich dass n nicht unendlich wächst, also muss es doch einen Grenzwert geben? Wie geht es dann weiter?
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> a) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{5n²-1}{n³+1} = \limes_{n \to \infty} \bruch{5/n-1/n³}{1+1/n³} = \bruch{\limes_{n \to \infty}5/n-1/n³}{\limes_{n \to \infty}1+1/n³} = \bruch{\limes_{n \to \infty}5/n - \limes_{n \to \infty} 1/n³}{\limes_{n \to \infty} 1 + \limes_{n \to \infty} 1/n³} = \bruch{0-0}{1+0} = 0[/mm]
Das ist richtig.
>
>
> b) [mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5} * 2^n) = \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5}) * \limes_{n \to \infty} (2^n)[/mm],
>
> hier habe ich große Zahlen für n eingesetzt, und bei n=332
> ist Schluss, es kommt ca [mm]8,75*10^99[/mm] raus. Was soll mir dies
> sagen? somit wächst n nicht unendlich.
Was n tut, liegt doch in Deiner Hand, und die Vorgabe ist klar: n soll gegen unendlich gehen.
Die Frage ist, was [mm] 2^n [/mm] macht, wenn n immer größer wird.
Glaubst Du allen Ernstes, daß [mm] 2^n [/mm] beschränkt ist? Nee, oder???
Daß bei Deinem Taschenrechner bei [mm] 9,99*10^{99} [/mm] Schluß ist, sagt etwas über Taschenrechner aus, nicht jedoch über das Verhalten von [mm] 2^n.
[/mm]
Für [mm] n\to \infty [/mm] geht [mm] 2^n [/mm] gegen [mm] \infty.
[/mm]
Du kannst das zeigen, indem Du annimmst, es wäre [mm] 2^n
Und dann zauberst Du ein S aus dem Hut, für welches gilt [mm] 2^S>g.
[/mm]
>
>
> c) [mm]\limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} * 2)^n] = (\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{5} * \limes_{n \to \infty} 2)^n = (0,2 * 2)^n[/mm],
Deine Umformung stimmt hier nicht. Du "untertunnelst" ja mit Deinem Limes das n.
Daß Du ein Ergebnis erhältst, in welchem das n noch vorkommt, sollte Dich stutzig machen...
Wenn Du hier etwas umformen wolltest, müßtest Du es so tun: [mm] \limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] 2)^n]= \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5})^n [/mm] * [mm] \limes_{n \to \infty} 2^n. [/mm] Es bringt allerdings nicht.
Besser überlegst Du Dir folgendes: [mm] \limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] 2)^n]=\limes_{n \to \infty} [(\bruch{2}{5})^n]
[/mm]
Was passiert, wenn man eine Zahl, deren Betrag kleiner als 1 ist, ganz oft mit sich selbst multipliziert?
>
> d) [mm]\limes_{n \to \infty} [cos(n* \bruch{\pi}{3}] = \limes_{n \to \infty} (cos) * \limes_{n \to \infty} (n* \bruch{\pi}{3}[/mm],
>
Das kannst Du so nicht auseinanderpflücken. Was soll denn [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] (cos) bedeutten? cos wovon???
>
> hier habe ich auch versucht große Zahlen einzusetzen, hier
> glaube ich wächst n unendlich, also ist die Folge
> divergent, oder?
Wie gesagt, das Wachstum von n bestimmst Du. Die Frage ist: was tut cos(n* [mm] \bruch{\pi}{3}), [/mm] wenn Dein n wächst?
Was passiert denn, wenn Du für n gerade Vielfache von 3 einsetzt? Und bei ungeraden Vielfachen?
>
>
> e) hierbei muss man wahrscheinlich die Folge selbst
> aufschreiben, hierbei bin ich auf dies gekommen
>
> [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n}{n}+\bruch{n-1}{2n} [/mm]
Das ist aber nicht die Folge. Wenn ich n=2 einsetze, erhalte ich [mm] 1+\bruch{1}{4}, [/mm] aber diese Folgenglied kommt in Deiner Folge gar nicht vor.
Aber gehen wir's mal weniger formell an:
Die Dir vorliegende Folge enthält ja offensichtlich die beiden Teilfolgen [mm] \bruch{1}{2},\bruch{1}{4},\bruch{1}{8},\bruch{1}{16},\bruch{1}{32}...
[/mm]
und
[mm] \bruch{3}{4},\bruch{7}{8},\bruch{15}{16},\bruch{31}{32},...
[/mm]
Wogegen kovergieren die beiden Teilfolgen?
Hat die Gesamtfolge einen Grenzwert?
= [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2n+n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3-1/n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 3 - \limes_{n \to \infty} 1/n}{\limes_{n \to \infty} 2}[/mm] [/mm]
> = [mm]\bruch{3-0}{2}[/mm] = 1,5
>
>
> nun zu zweitens:
>
> c) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{3n²}{n³-n} = \limes_{n \to \infty} \bruch{3/n}{1-1/n²} = \bruch{\limes_{n \to \infty} 3/n}{\limes_{n \to \infty} 1 - \limes_{n \to \infty} 1/n²} = \bruch{\limes_{n \to \infty} 0}{1-0} = 0[/mm]
>
> müsste nun passen, oder?
>
So paßt's.
>
> d) [mm]\limes_{n \to \infty} (0,2\cdot{}(-2)^n) = [[/mm][mm] \limes_{n \to \infty}[/mm]
> 0,2 * [mm]\limes_{n \to \infty} (-2)^n] = 0,2 \cdot{} (-2)^n [/mm],
> hierbei wächst n bis 332, es kommt [mm]8,75*10^99[/mm] raus. Nun
> weiß ich dass n nicht unendlich wächst,
Wie bereits in diesem Post erwähnt reicht es nicht, den TR einzuschalten. Zusätzliche Hirntätigkeit ist unerläßlich.
Der Knackpunkt ist ja [mm] (-2)^n. [/mm] Minus zwei.
Lassen wir die genauen Werte zunächst außen vor. Aber was ist denn mit den ungeraden Potenzen von -2?
Und mit den geraden?
Deutet irgendetwas daraufhin, daß [mm] (-2)^n [/mm] beschränkt ist? Glaubst Du, daß es sich einsprerren läßt zwischen irgendeinem -g und g?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
>> b) $ [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5} \cdot{} 2^n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5}) \cdot{} \limes_{n \to \infty} (2^n) [/mm] $,
>>
>> hier habe ich große Zahlen für n eingesetzt, und bei n=332
>> ist Schluss, es kommt ca $ [mm] 8,75\cdot{}10^99 [/mm] $ raus. Was soll mir dies
>> sagen? somit wächst n nicht unendlich.
>Was n tut, liegt doch in Deiner Hand, und die Vorgabe ist klar: n soll gegen unendlich gehen.
>Die Frage ist, was $ [mm] 2^n [/mm] $ macht, wenn n immer größer wird.
>Glaubst Du allen Ernstes, daß $ [mm] 2^n [/mm] $ beschränkt ist? Nee, oder???
>Daß bei Deinem Taschenrechner bei $ [mm] 9,99\cdot{}10^{99} [/mm] $ Schluß ist, sagt etwas über Taschenrechner aus, nicht jedoch über das Verhalten von $ [mm] >2^n. [/mm] $ Für $ [mm] n\to \infty [/mm] $ geht $ [mm] 2^n [/mm] $ gegen $ [mm] \infty. [/mm] $ Du kannst das zeigen, indem Du annimmst, es wäre $ [mm] 2^ng. [/mm] $
Stimmt, dass mit dem n gegen unendlich hab ich ganz vergessen. Wie soll ich aber ein S aus dem Hut zaubern, dass größer ist als g? Wenn es überhaupt keinen Grenzwert gibt, denn es wächst ja unendlich. Somit divergiert die Folge und hat keinen Grenzwert?
>> c) $ [mm] \limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} \cdot{} 2)^n] [/mm] = [mm] (\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{5} \cdot{} \limes_{n \to \infty} 2)^n [/mm] = (0,2 [mm] >>\cdot{} 2)^n [/mm] $,
>Deine Umformung stimmt hier nicht. Du "untertunnelst" ja mit Deinem Limes das n.
>Daß Du ein Ergebnis erhältst, in welchem das n noch vorkommt, sollte Dich stutzig machen...
>Wenn Du hier etwas umformen wolltest, müßtest Du es so tun: $ [mm] \limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} [/mm] $ * $ [mm] 2)^n]= \limes_{n \to \infty} >(\bruch{1}{5})^n [/mm] $ * $ [mm] \limes_{n \to \infty} 2^n. [/mm] $ Es bringt allerdings nicht.
>Besser überlegst Du Dir folgendes: $ [mm] \limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} [/mm] $ * $ [mm] 2)^n]=\limes_{n \to \infty} [(\bruch{2}{5})^n] [/mm] $
>Was passiert, wenn man eine Zahl, deren Betrag kleiner als 1 ist, ganz oft mit sich selbst multipliziert?
Wenn man eine Zahl deren Betrag kleiner als 1 ist und diese ganz oft mit sich selbst multipliziert, wird diese immer kleiner. Also ist der Grenzwert der Folge gleich 0, oder?
>> d) $ [mm] \limes_{n \to \infty} [cos(n\cdot{} \bruch{\pi}{3}] [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] (cos) [mm] \cdot{} \limes_{n \to \infty} (n\cdot{} >>\bruch{\pi}{3} [/mm] $,
>Das kannst Du so nicht auseinanderpflücken. Was soll denn $ [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] $ (cos) bedeutten? cos wovon???
Das frag ich mich auch gerade
>> hier habe ich auch versucht große Zahlen einzusetzen, hier
>> glaube ich wächst n unendlich, also ist die Folge
>> divergent, oder?
>Wie gesagt, das Wachstum von n bestimmst Du. Die Frage ist: was tut cos(n* $ [mm] \bruch{\pi}{3}), [/mm] $ wenn Dein n wächst? Was passiert denn, wenn Du >für n gerade Vielfache von 3 einsetzt? Und bei ungeraden Vielfachen?
Da fällt mir leider nichts auf, wenn ich dies tue.
> e) hierbei muss man wahrscheinlich die Folge selbst
> aufschreiben, hierbei bin ich auf dies gekommen
>
>> [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n}{n}+\bruch{n-1}{2n} [/mm]
> Das ist aber nicht die Folge. Wenn ich n=2 einsetze, erhalte ich [mm] 1+\bruch{1}{4}, [/mm] aber
>>dieses Folgenglied kommt in Deiner Folge gar nicht vor. Aber gehen wir's mal weniger formell an: Die Dir vorliegende Folge enthält ja >>offensichtlich die beiden Teilfolgen [mm] \bruch{1}{2},\bruch{1}{4},\bruch{1}{8},\bruch{1}{16},\bruch{1}{32}... [/mm] und [mm] >>\bruch{3}{4},\bruch{7}{8},\bruch{15}{16},\bruch{31}{32},... [/mm] Wogegen kovergieren die beiden Teilfolgen? Hat die gesamtfolge einen Grenzwert?
[mm] >>\limes_{n \to \infty} \bruch{2n+n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{3-1/n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n >>\to \infty} 3 - \limes_{n \to \infty} 1/n}{\limes_{n \to \infty} 2} [/mm] $
>> = $ [mm] \bruch{3-0}{2} [/mm] $ = 1,5
Die erste Teilfolge hat den Grenzwert 0 (1/n) und die zweite Teilfolge hat den Grenzwert 1 (2n-1/2n). Somit wäre die Gesamtfolge:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{2n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2}{2n} [/mm] + [mm] \bruch{2n-1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2n-1+2}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2+1/n}{2} [/mm] = 1$ Oder geht es doch nicht so leicht?
>> d) $ [mm] \limes_{n \to \infty} (0,2\cdot{}(-2)^n) [/mm] = [ $$ [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] $
>> 0,2 * $ [mm] \limes_{n \to \infty} (-2)^n] [/mm] = 0,2 [mm] \cdot{} (-2)^n [/mm] $,
>> hierbei wächst n bis 332, es kommt $ [mm] 8,75\cdot{}10^99 [/mm] $ raus. Nun
>> weiß ich dass n nicht unendlich wächst,
>Wie bereits in diesem Post erwähnt reicht es nicht, den TR einzuschalten. Zusätzliche Hirntätigkeit ist unerläßlich. Der Knackpunkt ist ja $ [mm] >(-2)^n. [/mm] $ Minus zwei. Lassen wir die genauen Werte zunächst außen vor. Aber was ist denn mit den ungeraden Potenzen von -2? Und mit den >geraden? Deutet irgendetwas daraufhin, daß $ [mm] (-2)^n [/mm] $ beschränkt ist? Glaubst Du, daß es sich einsprerren läßt zwischen irgendeinem -g und g?
Es deutet nichts daraufhin dass [mm] $(-2)^n$ [/mm] beschränkt ist, die geraden und ungeraden Potenzen alternieren auf der n-Achse hin und her (+(-). Man könnte natürlich schauen ob die Folge unendlich wächst oder es eine Schranke K gibt unter der die Folge bleibt, somit müsste diese ja einen Grenzwert haben, weil diese nicht über alle Grenzen wächst. Oder gibt es eine andere Mehtode?
>Gruß v. Angela
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> >> b) [mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5} \cdot{} 2^n) = \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{5}) \cdot{} \limes_{n \to \infty} (2^n) [/mm],
>
> >>
> >> hier habe ich große Zahlen für n eingesetzt, und bei
> n=332
> >> ist Schluss, es kommt ca [mm]8,75\cdot{}10^99[/mm] raus. Was
> soll mir dies
> >> sagen? somit wächst n nicht unendlich.
>
> >Was n tut, liegt doch in Deiner Hand, und die Vorgabe ist
> klar: n soll gegen unendlich gehen.
>
> >Die Frage ist, was [mm]2^n[/mm] macht, wenn n immer größer wird.
> >Glaubst Du allen Ernstes, daß [mm]2^n[/mm] beschränkt ist? Nee,
> oder???
>
> >Daß bei Deinem Taschenrechner bei [mm]9,99\cdot{}10^{99}[/mm]
> Schluß ist, sagt etwas über Taschenrechner aus, nicht
> jedoch über das Verhalten von [mm]>2^n.[/mm] Für [mm]n\to \infty[/mm] geht
> [mm]2^n[/mm] gegen [mm]\infty.[/mm] Du kannst das zeigen, indem Du annimmst,
> es wäre [mm]2^n
> dem Hut, für welches gilt [mm]2^S>g.[/mm]
>
> Stimmt, dass mit dem n gegen unendlich hab ich ganz
> vergessen. Wie soll ich aber ein S aus dem Hut zaubern,
> dass größer ist als g? Wenn es überhaupt keinen Grenzwert
> gibt, denn es wächst ja unendlich. Somit divergiert die
> Folge und hat keinen Grenzwert?
Klar. Die Folge [mm] 2^n [/mm] geht gegen unendlich.
Das mit dem S ist nur, falls Du das beweisen müßtest. Da würdest Du dann sagen: [mm] 2^g>g.
[/mm]
>
>
> >> c) [mm]\limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5} \cdot{} 2)^n] = (\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{5} \cdot{} \limes_{n \to \infty} 2)^n = (0,2 >>\cdot{} 2)^n [/mm],
>
> >Deine Umformung stimmt hier nicht. Du "untertunnelst" ja
> mit Deinem Limes das n.
> >Daß Du ein Ergebnis erhältst, in welchem das n noch
> vorkommt, sollte Dich stutzig machen...
>
> >Wenn Du hier etwas umformen wolltest, müßtest Du es so
> tun: [mm]\limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5}[/mm] * [mm]2)^n]= \limes_{n \to \infty} >(\bruch{1}{5})^n[/mm]
> * [mm]\limes_{n \to \infty} 2^n.[/mm] Es bringt allerdings nicht.
>
> >Besser überlegst Du Dir folgendes: [mm]\limes_{n \to \infty} [(\bruch{1}{5}[/mm]
> * [mm]2)^n]=\limes_{n \to \infty} [(\bruch{2}{5})^n][/mm]
> >Was
> passiert, wenn man eine Zahl, deren Betrag kleiner als 1
> ist, ganz oft mit sich selbst multipliziert?
>
> Wenn man eine Zahl deren Betrag kleiner als 1 ist und diese
> ganz oft mit sich selbst multipliziert, wird diese immer
> kleiner. Also ist der Grenzwert der Folge gleich 0, oder?
>
Ja.
>
> >> d) [mm]\limes_{n \to \infty} [cos(n\cdot{} \bruch{\pi}{3}] = \limes_{n \to \infty} (cos) \cdot{} \limes_{n \to \infty} (n\cdot{} >>\bruch{\pi}{3} [/mm],
>
> >Das kannst Du so nicht auseinanderpflücken. Was soll denn
> [mm]\limes_{n \to \infty}[/mm] (cos) bedeutten? cos wovon???
>
> Das frag ich mich auch gerade
>
> >> hier habe ich auch versucht große Zahlen einzusetzen,
> hier
> >> glaube ich wächst n unendlich, also ist die Folge
> >> divergent, oder?
>
> >Wie gesagt, das Wachstum von n bestimmst Du. Die Frage
> ist: was tut cos(n* [mm]\bruch{\pi}{3}),[/mm] wenn Dein n wächst?
> Was passiert denn, wenn Du >für n gerade Vielfache von 3
> einsetzt? Und bei ungeraden Vielfachen?
>
> Da fällt mir leider nichts auf, wenn ich dies tue.
Hast Du's getan???
Sei n=2k*3, also ein gerades Vielfaches von 3.
Dann ist cos(n* [mm][mm] \bruch{\pi}{3})=cos(2k*3*[/mm] [mm]\bruch{\pi}{3})= cos(???)=...
Für ungerade Vielfache n=(2k+1)*3 entsprechend.
>
>
> > e) hierbei muss man wahrscheinlich die Folge selbst
> > aufschreiben, hierbei bin ich auf dies gekommen
> >
> >> \limes_{n \to \infty} \bruch{n}{n}+\bruch{n-1}{2n}
> Das ist aber nicht die Folge. Wenn ich n=2 einsetze, erhalte ich 1+\bruch{1}{4}, aber
> diese Folgenglied kommt in Deiner Folge gar nicht vor. Aber gehen wir's mal weniger formell an: Die Dir vorliegende Folge enthält ja
> offensichtlich die beiden Teilfolgen \bruch{1}{2},\bruch{1}{4},\bruch{1}{8},\bruch{1}{16},\bruch{1}{32}... und > \bruch{3}{4},\bruch{7}{8},\bruch{15}{16},\bruch{31}{32},... Wogegen kovergieren die beiden Teilfolgen? Hat die gesamtfolge einen Grenzwert? =
>>\limes_{n \to \infty} \bruch{2n+n-1}{2n} = \limes_{n \to \infty} \bruch{3n-1}{2n} = \limes_{n \to \infty} \bruch{3-1/n}{2} = \bruch{\limes_{n >>\to \infty} 3 - \limes_{n \to \infty} 1/n}{\limes_{n \to \infty} 2}[/mm]
>
> >> = [mm]\bruch{3-0}{2}[/mm] = 1,5
>
> Die erste Teilfolge hat den Grenzwert 0 (1/n) und die
> zweite Teilfolge hat den Grenzwert 1 (2n-1/2n). Somit wäre
> die Gesamtfolge:
Mach Dir keine überflüssige Mühe damit, einen Gesamtausdruck für die Folge zu finden.
Du hast zwei Teilfolgen, welche gegen verschiedenen Grenzwerte konvergieren.
Was sagt uns das über die Konvergenz der Gesamtfolge? Kann es da einen Grenzwert geben?
(Stell Dir das doch mal bildlich vor: der eine Folgenteil strebt gegen 0, der andere gegen 1. )
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n} + \bruch{2n-1}{2n} = \limes_{n \to \infty} \bruch{2}{2n} + \bruch{2n-1}{2n} = \limes_{n \to \infty} \bruch{2n-1+2}{2n} = \limes_{n \to \infty} \bruch{2+1/n}{2} = 1[/mm]
> Oder geht es doch nicht so leicht?
>
>
> >> d) [mm]\limes_{n \to \infty} (0,2\cdot{}(-2)^n) = [[/mm][mm] \limes_{n \to \infty}[/mm]
>
> >> 0,2 * [mm]\limes_{n \to \infty} (-2)^n] = 0,2 \cdot{} (-2)^n [/mm],
>
> >> hierbei wächst n bis 332, es kommt [mm]8,75\cdot{}10^99[/mm]
> raus. Nun
> >> weiß ich dass n nicht unendlich wächst,
>
> >Wie bereits in diesem Post erwähnt reicht es nicht, den TR
> einzuschalten. Zusätzliche Hirntätigkeit ist unerläßlich.
> Der Knackpunkt ist ja [mm]>(-2)^n.[/mm] Minus zwei. Lassen wir die
> genauen Werte zunächst außen vor. Aber was ist denn mit den
> ungeraden Potenzen von -2? Und mit den >geraden? Deutet
> irgendetwas daraufhin, daß [mm](-2)^n[/mm] beschränkt ist? Glaubst
> Du, daß es sich einsprerren läßt zwischen irgendeinem -g
> und g?
>
> Es deutet nichts daraufhin dass [mm](-2)^n[/mm] beschränkt ist, die
> geraden und ungeraden Potenzen alternieren
Genau. Immer abwechselnd bekommt man positive und negative Zahlen.
> auf der n-Achse
> hin und her
???
Wenn Du Dir die Sache genau durchdenkst, wirst Du feststellen, daß die Teilfolge mit den ungeraden Potenzen gegen [mm] -\infty [/mm] geht und die mit geraden Potenzen gegen [mm] +\infty. [/mm] Also konvergiert die Folge nicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
>>>Wie gesagt, das Wachstum von n bestimmst Du. Die Frage
>>>ist: was tut cos(n* $ [mm] \bruch{\pi}{3}), [/mm] $ wenn Dein n wächst?
>>>Was passiert denn, wenn Du >für n gerade Vielfache von 3
>>>einsetzt? Und bei ungeraden Vielfachen?
>>Da fällt mir leider nichts auf, wenn ich dies tue.
>Hast Du's getan???
Ja ich habe verschieden Werte eingesetzt
>Sei n=2k*3, also ein gerades Vielfaches von 3.
>Dann ist cos(n* $ [mm] \bruch{\pi}{3})=cos(2k\cdot{}3\cdot{} [/mm] $ $ [mm] \bruch{\pi}{3})= [/mm] cos(???)=... Für ungerade Vielfache [mm] n=(2k+1)\cdot{}3 [/mm] entsprechend.
wenn n=2k*3 ist dann kommt cos=0,99 raus und bei n=(2k+1)*3 kommt 0,99 raus. also die der Grenzwert 1, oder?
>> Die erste Teilfolge hat den Grenzwert 0 (1/n) und die
>> zweite Teilfolge hat den Grenzwert 1 (2n-1/2n). Somit wäre
>> die Gesamtfolge:
>Mach Dir keine überflüssige Mühe damit, einen Gesamtausdruck für die Folge zu finden.
>Du hast zwei Teilfolgen, welche gegen verschiedenen Grenzwerte konvergieren.
>Was sagt uns das über die Konvergenz der Gesamtfolge? Kann es da einen Grenzwert geben?
>(Stell Dir das doch mal bildlich vor: der eine Folgenteil strebt gegen 0, der andere gegen 1. )
Die Gesamtfolge hat keinen Grenzwert, denn die eine Folge strebt gegen 0 und die andere gegen 1.
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> >>>Wie gesagt, das Wachstum von n bestimmst Du. Die Frage
> >>>ist: was tut cos(n* [mm]\bruch{\pi}{3}),[/mm] wenn Dein n
> wächst?
> >>>Was passiert denn, wenn Du >für n gerade Vielfache von
> 3
> >>>einsetzt? Und bei ungeraden Vielfachen?
>
> >>Da fällt mir leider nichts auf, wenn ich dies tue.
>
> >Hast Du's getan???
>
> Ja ich habe verschieden Werte eingesetzt
>
> >Sei n=2k*3, also ein gerades Vielfaches von 3.
> >Dann ist cos(n* $ [mm]\bruch{\pi}{3})=cos(2k\cdot{}3\cdot{}[/mm] $
> $ [mm]\bruch{\pi}{3})=[/mm] cos(???)=... Für ungerade Vielfache
> [mm]n=(2k+1)\cdot{}3[/mm] entsprechend.
>
> wenn n=2k*3 ist dann kommt cos=0,99 raus und bei n=(2k+1)*3
> kommt 0,99 raus. also die der Grenzwert 1, oder?
Da solltest Du nochmal genau gucken, was Dein TR sagt.
Oder besser noch, Du läßt ihn ganz aus.
[mm] cos(2k*3*\bruch{\pi}{3})=cos(2\pi*k)=???
[/mm]
[mm] cos((2k+1)*3*\bruch{\pi}{3})=cos((2k+1)\pi)=???
[/mm]
Wenn Du Dir den cos aufmalst, siehst Du das Ergebnis.
>
>
> >> Die erste Teilfolge hat den Grenzwert 0 (1/n) und die
> >> zweite Teilfolge hat den Grenzwert 1 (2n-1/2n). Somit
> wäre
> >> die Gesamtfolge:
>
> >Mach Dir keine überflüssige Mühe damit, einen
> Gesamtausdruck für die Folge zu finden.
> >Du hast zwei Teilfolgen, welche gegen verschiedenen
> Grenzwerte konvergieren.
> >Was sagt uns das über die Konvergenz der Gesamtfolge?
> Kann es da einen Grenzwert geben?
>
> >(Stell Dir das doch mal bildlich vor: der eine Folgenteil
> strebt gegen 0, der andere gegen 1. )
>
> Die Gesamtfolge hat keinen Grenzwert, denn die eine Folge
> strebt gegen 0 und die andere gegen 1.
Genau.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
eine letzte Frage, k=3, oder? Vielen Dank für die Hilfe.
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> eine letzte Frage, k=3, oder? Vielen Dank für die Hilfe.
Nein. k ist irgendeine natürliche Zahl.
Egal welches k Du nimmst, es ist 2k eine gerade Zahl, und 2k+1 eine ungerade.
Also bekommst Du mit 2k*3 sämtliche geraden Vielfachen von 3 und mit (2k+1)*3 alle ungeraden, wenn Du die k durch ganz [mm] \IR [/mm] laufen läßt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Di 07.08.2007 | | Autor: | itse |
ich hab mir den cos oder besser gesagt die Folge aufgemalt, der Grenzwert verläuft von +1 zu -1, also wächst n nicht über alle Grenzen. -1 < g < 1, g = -1, wie kommt man eigentlich mathematisch gesehen bei dieser und den anderen beiden mit [mm] $(-2)^n$ [/mm] und [mm] $(1/5*2)^n$ [/mm] auf die ergebnisse, gibt es hierbei keine anderen herangehensweise, oder muss einfach von fall zu fall, die folge soweit wie möglich mit grenzwertsatz vereinfachen und wenn ein Term übrig bleibt, bei diesem für n ein paar werte einsetzen und schauen was passiert. bei der einen aufgabe mit cos was ja eigentlich klar, dass es einen grenzwert geben muss.
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> ich hab mir den cos oder besser gesagt die Folge aufgemalt,
> der Grenzwert verläuft von +1 zu -1,
Was meinst Du nur damit? Ein Grenzwert läuft doch nicht von irgendwo nach irgendwo.
Vielleicht meinst Du ja, daß [mm] -1\le cos(n*\bruch{\pi}{3}) \le [/mm] 1 gilt.
> also wächst n nicht
> über alle Grenzen.
und konvergiert auch nicht, denn es gibt eine Teilfolge, die gegen 1 und eine, die gegen -1 konvergiert.
> -1 < g < 1, g = -1, wie kommt man
> eigentlich mathematisch gesehen bei dieser und den anderen
> beiden mit [mm](-2)^n[/mm] und [mm](1/5*2)^n[/mm] auf die ergebnisse, gibt es
> hierbei keine anderen herangehensweise,
Oft gibt es mehrere Arten, an Aufgaben heranzugehen.
Aber man muß natürlich einiges wissen und dann auch verwenden, z.B. was beim Potenzieren von neg. Zahlen passiert, wie die trig. Funktionen verlaufen,
> oder muss einfach
> von fall zu fall, die folge soweit wie möglich mit
> grenzwertsatz vereinfachen
"Vereinfachen" bedeutet ja hier: in (korrekter Weise so umformen, daß man die Eigenschaften besser erkennen kann.
> und wenn ein Term übrig bleibt,
> bei diesem für n ein paar werte einsetzen und schauen was
> passiert.
Ein paar Werte einsetzen und schauen, was passiert, ist oft eine gute Methode um herauszufinden, was man zeigen möchte. Beweiskraft hat das Einsetzen irgendwelcher Zahlen nicht.
> bei der einen aufgabe mit cos was ja eigentlich
> klar, dass es einen grenzwert geben muss.
Bei welcher Aufgabe? Warum klar? Welchen Grenzwert?
Gruß v. Angela
P.S.: Sind das wirklich Aufgaben, die der Oberstufe entstammen? Ich find's ungewöhnlich, so ausführlich Grenzwerte in der Schule auszurechnen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:51 Mi 08.08.2007 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
>> ich hab mir den cos oder besser gesagt die Folge aufgemalt,
>> der Grenzwert verläuft von +1 zu -1,
> Was meinst Du nur damit? Ein Grenzwert läuft doch nicht von irgendwo nach irgendwo.Vielleicht meinst Du ja, daß $ [mm] -1\le [/mm]
> [mm] cos(n\cdot{}\bruch{\pi}{3}) \le [/mm] $ 1 gilt.
Genau das meinte ich
>> also wächst n nicht
>> über alle Grenzen.
> und konvergiert auch nicht, denn es gibt eine Teilfolge, die gegen 1 und eine, die gegen -1 konvergiert.
der cosinus verläuft von 1, bis -1, somit konvergiert die Folge nicht, wie bei der einen Folge, wo die zwei Teilfolgen unterschiedliche Grenzwerte haben und somit in der Gesamtfolge nicht konvergieren.
>> -1 < g < 1, g = -1, wie kommt man
>> eigentlich mathematisch gesehen bei dieser und den anderen
>> beiden mit $ [mm] (-2)^n [/mm] $ und $ [mm] (1/5\cdot{}2)^n [/mm] $ auf die ergebnisse, gibt es
>> hierbei keine anderen herangehensweise,
> Oft gibt es mehrere Arten, an Aufgaben heranzugehen.
> Aber man muß natürlich einiges wissen und dann auch verwenden, z.B. was beim Potenzieren von neg. Zahlen passiert, wie die trig. Funktionen
> verlaufen,
>> oder muss einfach
>> von fall zu fall, die folge soweit wie möglich mit
>> grenzwertsatz vereinfachen
> "Vereinfachen" bedeutet ja hier: in (korrekter Weise so umformen, daß man die Eigenschaften besser erkennen kann.
So meinte ich es, die Grenzwertsätze helfen einem bei komplexeren Folgen den Grenzwert zu erkennen, wenn dieser nicht sofort ersichtlich ist.
>> und wenn ein Term übrig bleibt,
>> bei diesem für n ein paar werte einsetzen und schauen was
>> passiert.
> Ein paar Werte einsetzen und schauen, was passiert, ist oft eine gute Methode um herauszufinden, was man zeigen möchte. Beweiskraft hat das
> Einsetzen irgendwelcher Zahlen nicht.
>> bei der einen aufgabe mit cos was ja eigentlich
>> klar, dass es einen grenzwert geben muss.
>Bei welcher Aufgabe? Warum klar? Welchen Grenzwert?
Ich meinte bei dieser Aufgabe [mm] $cos(n\cdot{}\bruch{\pi}{3})$, [/mm] ist es eigentlich klar, dass n nicht gegen unendlich läuft, weil die cosinus-funktion von +1 bis -1 verläuft. Grenzwert gibt es natürlich keinen, die eine Folge konvergiert gegen 1 und die andere gegen -1.
>Gruß v. Angela
>P.S.: Sind das wirklich Aufgaben, die der Oberstufe entstammen? Ich find's ungewöhnlich, so ausführlich Grenzwerte in der Schule auszurechnen.
Ja, das sind wirklich Aufgaben die der Oberstufe entstammen. Als nächstes wiederhole ich noch das Kapitel über Monotone Folgen, hierbei geht es dann darum, wenn die Grenzwertsätze nicht angewendet werden können, trotzdem den ungefähren Grenzwert über: Ist die Folge monoton steigend oder fallend? und ist diese nach oben oder unten beschränkt?
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