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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwert der folgenden Reihen
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{1-n^2} [/mm] |
Moin,
hmm wie berechne ich das? also [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{1-n} [/mm] wäre ja glaube ich die geom. Reihe. und bei meiner Aufgabe ist es ja so ähnlich.
Welches Kriterium müsste ich anwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Grenzwert der folgenden Reihen
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> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{1-n^2}[/mm]
> Moin,
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> hmm wie berechne ich das? also [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{1-n}[/mm]
> wäre ja glaube ich die geom. Reihe. und bei meiner Aufgabe
> ist es ja so ähnlich.
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Führe mal eine Partialbruchzerlegung mit deinem Bruch durch. Danach ergibt sich evtl eine Teleskopsumme.
Valerie
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Könntest du mir helfen wie es geht?
habe jetzt folgenden Schritt gemacht:
[mm] \bruch{1}{1-n^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ist das richtig? was wäre der nächste schritt? :S
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo ellegance!
> habe jetzt folgenden Schritt gemacht:
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> [mm]\bruch{1}{1-n^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n-1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] ist das richtig?
Das stimmt nicht ganz. Es sollte herauskommen:
[mm]\bruch{1}{1-n^2} \ = \ \bruch{\bruch{1}{2}}{1+n}+\bruch{\bruch{1}{2}}{1-n} \ = \ \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n-1}\right)[/mm]
> was wäre der nächste schritt? :S
Das Stichwort "Teleskopsumme" fiel ja schon.
Betrachte nunmehr [mm] $\bruch{1}{2}*\summe_{n=2}^{\infty}\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n-1}\right)$ [/mm] und schribe Dir mal die ersten Glieder der Summe auf.
Was fällt auf?
Gruß
Loddar
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hmm mir fällt nichts auf wenn ich bei n=2 anfange und habe es jetzt bis n=5 gemacht es nähert sich der 0 aber mehr ist mir nicht aufgefallen? :S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hmm mir fällt nichts auf wenn ich bei n=2 anfange und habe
> es jetzt bis n=5 gemacht es nähert sich der 0 aber mehr
> ist mir nicht aufgefallen? :S
na, Loddar meinte das so:
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt (substituiere [mm] $k=n+2\,,$ [/mm] dann durchläuft [mm] $n\,$
[/mm]
die Zahlen von [mm] $2\,$ [/mm] bis [mm] $N\,$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $k\,$ [/mm] die von [mm] $4\,$ [/mm] bis
$N+2$ durchläuft)
[mm] $$\bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{n=2}^{N}\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n-1}\right)=\bruch{1}{2}\cdot{}\left(\Big(\summe_{n=2}^{N}\bruch{1}{n+1}\Big)-\sum_{n=2}^N \bruch{1}{n-1}\right)=\bruch{1}{2}\cdot{}\left(\Big(\summe_{k=2\red{+2}}^{N\red{+2}}\bruch{1}{k-1}\Big)-\sum_{n=2}^N \bruch{1}{n-1}\right)$$
[/mm]
Kannst Du begründen, warum das [mm] $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N}-\frac{1}{2}-\frac{1}{1}\right)$ [/mm] ist?
Und warum existiert demzufolge
[mm] $$g:=\bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{n=2}^{\infty}\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n-1}\right)=\lim_{N \to \infty} \left(\bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{n=2}^{N}\left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n-1}\right)\right)$$
[/mm]
und welcher Wert kommt raus?
P.S. Allgemeines zu Ziehharmonikasummen/Ziehharmonikareihen findest Du
von mir kurz zusammengeschrieben auch hier (klick!).
P.P.S.
[mm] $$\frac{1}{1-n^2}=\frac{1}{(1-n)*(1+n)}=\frac{\frac{1}{2}*((1+n)+(1-n)}{(1+n)*(1-n)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+n}+\frac{1}{1-n}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)$$
[/mm]
hätte man auch rechnen können. (Ist zwar immer ein wenig Übung- und
Erfahrungssache, wie man auf sowas kommt - wenn man es nicht eh direkt
mit Partialbruchzerlegung macht, aber das sei nun mal dahingestellt.
Nachprüfen kann man diese Gleichheiten ja einfach!)
Gruß,
Marcel
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Ich bin jetzt grad raus glaub ich vom Thema. verstehe nur noch Bahnhof.
Wie kommst du jetzt auf die Sachen die du geschrieben hast? :S diese Reihe höre ich zum ersten Mal :S
Also wenn ich es richtig verstanden habe kommt [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] raus.
Aber das mit der Ziehharmonikasummen/Ziehharmonikareihen hab ich überhaupt nicht verstanden.
Wie sieht man es? und was macht man dort genau? Du hast es ausführlich aufgeschrieben danke aber ich hab den zusammenhang noch nicht verstanden.
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Hallo ellegance88,
> Ich bin jetzt grad raus glaub ich vom Thema. verstehe nur
> noch Bahnhof.
Kopfbahnhof oder Durchgangsbahnhof?
> Wie kommst du jetzt auf die Sachen die du geschrieben hast?
> :S diese Reihe höre ich zum ersten Mal :S
Wenn Du sie zum zweiten Mal hörst, kommst Du selbst auch darauf.
Was für ein wunderbarer Tag: Du hast etwas Neues erfahren!
> Also wenn ich es richtig verstanden habe kommt
> [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] raus.
So ähnlich. [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] wäre richtig.
> Aber das mit der Ziehharmonikasummen/Ziehharmonikareihen
> hab ich überhaupt nicht verstanden.
Dann rechne es doch mal nach. "Ziehharmonika" heißt hier einfach, dass sich Zwischenglieder schnell wieder "wegheben", so dass man nur noch ein paar übrig gebliebene Glieder am Anfang und am Ende betrachten muss.
> Wie sieht man es? und was macht man dort genau? Du hast es
> ausführlich aufgeschrieben danke aber ich hab den
> zusammenhang noch nicht verstanden.
Dann denk nochmal drüber nach. Es war sehr gut aufgeschrieben.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Do 10.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo ellegance,
> Ich bin jetzt grad raus glaub ich vom Thema. verstehe nur
> noch Bahnhof.
>
> Wie kommst du jetzt auf die Sachen die du geschrieben hast?
eigentlich musst Du nur zwei Sachen verstehen.
1. Was ist eine Reihe, und was ist der Reihenwert im Falle der Konvergenz
einer Reihe?
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Definition 6.1 (klick!) und die zugehörige Bemerkung.
2. Was sind "Ziehharmonikareihen"? Das sind Reihen "der Bauart [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty (a_{n+1}-a_n)\,.$"
[/mm]
Daraus ergibt sich dann: Sei [mm] ${(a_n)}_{n=n_0}^\infty$ [/mm] eine Folge mit Grenzwert [mm] $a\,.$ [/mm]
(D.h. auch, dass [mm] ${(a_n)}_{n=n_0}^\infty$ [/mm] konvergiert - nach Voraussetzung!)
Dann gilt
[mm] $$\sum_{n=n_0}^\infty (a_{n+1}-a_n)=a-a_{n_0}\,.$$
[/mm]
Warum? Zeige, dass [mm] $g=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=n_0}^N a_n$ [/mm] existiert, und dass
[mm] $$$g=a-a_{n_0}$$ [/mm]
gilt.
Machen kannst Du das so:
Ist $N [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $N [mm] \ge n_0\,,$ [/mm] dann gilt (da sieht man nun linkerhand,
was man unter dem Begriff ZiehharmonikaSUMME wohl versteht)
[mm] $$\sum_{n=n_0}^N (a_{n+1}-a_n)=\Big(\sum_{n=n_0}^N a_{n+1}\Big)-\sum_{n=n_0}^N a_{n}$$
[/mm]
(hier machst Du nun bei der rechten Summe eine Laufvariableumbenennung
[mm] $k=n_0+1$ [/mm] und schaust mal, wie man weiter rechnen kann.)
Wenn's Dir immer noch nicht klar wird, dann schreib' die Summen erstmal
mit Pünktchen hin und guck', "was sich insgesamt raushebt" (ich schreibe
mal [mm] $\text{a}$ [/mm] für [mm] $a\,,$ [/mm] da erkennt man die Indizes besser; die blauen
Pluszeichen gehören NICHT zum Index!):
[mm] $$\Big(\sum_{n=n_0}^N \text{a}_{n+1}\Big)-\sum_{n=n_0}^N \text{a}_{n}=\Big(\red{{\text{a}_{n_0+1}}\;\text{\blue{+}}\;\ldots\;\text{\blue{+}}\;\text{a}_N}\;\text{\blue{+}}\;\text{a}_{N+1}\Big)\;\;-\;\;(\text{a}_{n_0}\;\text{\blue{+}}\;\green{\text{a}_{n_0+1}\;\text{\blue{+}}\;\ldots\text{\blue{+}}\;\text{a}_N})$$
[/mm]
Und wenn Dir das auch SO immer noch nicht klar ist: Nimm' verschiedene
[mm] $n_0\,,$ $N\,$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] und schreib' Dir das mit diesen konkreten
Beispielen hin. Etwa
[mm] $$n_0=2\,, [/mm] N=11 [mm] \text{ und }\text{a}_n:=n^2+3\,.$$
[/mm]
(Hier würde die zugehörige ZiehharmonikaREIHE natürlich nicht
konvergieren...)
Also: Hinschreiben, gucken, rechnen ( dabei auch gucken, was man rechnet
und ob das erlaubt ist  ); das ganze an konkreten Fallbeispielen
austesten. Diese Aufgaben gebe ich Dir. Danach sprechen wir uns wieder.
(Natürlich ist der letzte Satz nicht ganz ernst gemeint, natürlich darfst Du
hier einfach weiterfragen, wenn zwischendurch etwas nicht klar ist oder
Du nicht verstehst, worauf das ganze abgezielt hat...)
Gruß,
Marcel
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okay das muss ich aufjedenfall noch lernen. :)
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