Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{7}{10}+\bruch{29}{100}+...+\bruch{2^n+5^n}{10^n}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir bitte mal jemand nen Tipp geben, wie ich da weiter komme? Ich weiß schon mal soviel, dass es in der Klammer ne geometrische Folge ist. Aber das bringt mir grad nich so viel.
|
|
| |
|
Hallo tinkabell!
Nein, in der dargestellten Form ist es noch keine geometrische Reihe, aber wir können durch Zerlegen des Bruches in zwei Teilbrüche genau solche geometrischen Reihen erzeugen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{7}{10}+\bruch{29}{100}+...+\bruch{2^n+5^n}{10^n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^n+5^n}{10^n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^n+5^n}{10^n}-\bruch{2^0+5^0}{10^0} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^n+5^n}{10^n}-2$
[/mm]
Nun die angedeutete Zerlegung (siehe auch hier):
[mm] $-2+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^k+5^k}{10^k} [/mm] \ = \ [mm] -2+\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{2^k}{10^k}+\bruch{5^k}{10^k}\right) [/mm] \ =\ [mm] -2+\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{2}{10}\right)^k+\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{5}{10}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] -2+\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{5}\right)^k+\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^k [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
