Induktionsbeweis-Summenformel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 22.11.2004 | | Autor: | nini1709 |
Mein Problem ist, dass ich eine Summenformel mit Hilfe des Induktionsbeweises nachweisen soll.
die Reihe lautet:
0+2+5+9+...+ [mm] \bruch{n*(n-3)}{2}= \bruch{(n-1)*n}{12}*(2n+8)
[/mm]
bis jetzt habe ich:
Induktionsanfang
H(n=1) ist wahr
0= [mm] \bruch{(1-1)*1}{12}*(2*1+8)
[/mm]
0=0
Induktionsschritt
Induktionsannahme
H(n=k) sei wahr
0+2+5+9+...+ [mm] \bruch{(k)*(k-3)}{2}= \bruch{(k-1)*k}{12}*(2k+8)
[/mm]
Induktionsbehauptung
H(n=k+1) ist wahr
0+2+5+9+...+ [mm] \bruch{(k+1)*(k-2)}{2}= \bruch{k*(k+1)}{12}*(2k+10)
[/mm]
Induktionsbeweis
aus der Induktionsbehauptung folgt:
0+2+5+9+...+ [mm] \bruch{k(k-3)}{2}+ \bruch{(k+1)*(k-2)}{2}= \bruch{k*(k+1)}{12}*(2k+10)
[/mm]
mit der Induktionsannahme folgt:
[mm] \bruch{(k-1)*k}{12}*(2k+8)+ \bruch{(k+1)*(k-2)}{2}= \bruch{k(k+1)*(2k+10)}{12}
[/mm]
[mm] \bruch{(k-1)*k*(2k+8)+6*(k+1)*(k-2)}{12}= [/mm] rechte seite
[mm] \bruch{(k^{2}-k)*(2k+8)+6*(k^{2}-2k+k-2}{12}= [/mm] rechte seite
[mm] \bruch{2k^{3}+8k^{2}-2k^{2}-8k+6k^{2}-6k-12}{12}= [/mm] rechte Seite
[mm] \bruch{2k^{3}+12k^{2}-14k-12}{12}= \bruch{k(k+1)*(2k+10)}{12}
[/mm]
Aber wie kann ich die linke Seite so umformen, dass ich auf die rechte komme (ohne diese zu verändern)?
Bitte helft mir bin am verzweifeln.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.uni-protokolle.de/foren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe nini
du brauchst nicht zu verzweifeln, denn deine Formel stimmt eben schlichtweg nicht! Dann kann sie auch nicht bewiesen werden!
Wie bist du denn auf die Formel gekommen?
Schau, deine Verankerung stimmt gar nicht. Für dein erstes Glied müsstest du n=3 setzen, nicht n=0.
Wenn du mämlich n=0 setzt, wäre das erste Glied deiner Summe schon 0.
Wenn du aber n=1 setzt, dann erhältst du ja [mm] $\bruch{1*(-2)}{2}=-1$
[/mm]
n=2 ergibt [mm] $\bruch{2*(-1)}{2}=-1$
[/mm]
n=3 ergibt [mm] $\bruch{3*0}{2}=0$ [/mm] Hier ist also zu starten!
Wenn du mit n=0 beginnen willst, dann müsste die Summe so definiert sein:
[mm] $0+2+5+9+...+\bruch{n(n+3)}{2}$
[/mm]
Dann wäre die Summenformel aber [mm] $\bruch{n(n+1)(n+5)}{6}$
[/mm]
Ich weiss nicht, ist das die Summenformel für die Diagonalen des n-Eckes?
Dann müsste man schon mit n=3 beginnen können, und deine zu beweisende Summenformel wäre diese:
[mm] $0+2+5+9+...+\bruch{n(n-3)}{2}=\bruch{(n-3)(n-2)(n+2)}{6}$
[/mm]
Solltest du weitere Fragen haben, dann stellst du diese bitte. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mo 22.11.2004 | | Autor: | nini1709 |
Ja es ist die Summenformel für die Diagonalen eines n-Ecks.
Mit der letzten Summenformel wo ich mit n=3 beginnen muss hab ich den Induktionsbeweis hinbekommen. Hab mein Hauptproblem gelöst.
Aber eine weitere Frage ist wie komme ich auf solche möglichen Summenformeln gibt es da sowas wie ne Strategie? Können sie mir das an diesem Besipiel für das n-Eck mal aufschreiben wie sie auf die Summenformel gekommen sind [mm] \bruch{(n-3)(n-2)(n+2)}{6} [/mm] .
Mfg Nini Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Di 23.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nini
wie man darauf kommt, ist in diesenm Strang beschrieben:
https://matheraum.de/read?i=26904
Der Fragesteller hat behauptet, das verstanden zu haben! Vielleicht gelingt es auch dir, das zu verstehen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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