Induktiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:27 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Salomon |
Hi Leutz,
ich hab' da so ein Problem mit der Herangehensweise, Ordnung, Berechnung,....mit allem irgendwie?!
Also:
Man soll zeigen, dass die folgende induktiv definierte Folge konvergiert und deren Grenzwert berechnen:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, a_{n + 1} [/mm] = [mm] \wurzel{(1- a_{n})} [/mm] , n [mm] \in \IN
[/mm]
So, wenn man mal [mm] a_{2}, a_{3},... [/mm] berechnet wird's ja schon knuffig.
Ich stelle nun eine Vermutung auf: (die falsch ist, siehe unten)
[mm] \wurzel{\bruch{2 - \wurzel{2}}{2}} \le a_{n} \le \bruch {1}{\wurzel{2}}
[/mm]
So, nun zur Herangehensweise:
Zeige ich zuerst die Beschränkheit von [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und dann die Monotonie für alle n [mm] \in \IN [/mm] oder umgekehrt oder wie?
Wenn ich beides gezeigt habe, konvergiert das Teil ja!
Als Letztes muss ich den Grenzwert berechnen!
Ja?
Ok, ich picke mir mal hier zuerst das Zeigen der Beschränktheit heraus:
Behauptung: Wenn [mm] \wurzel{\bruch{2 - \wurzel{2}}{2}} \le a_{n} \le \bruch {1}{\wurzel{2}}, [/mm] dann auch [mm] \wurzel{\bruch{2 - \wurzel{2}}{2}} \le a_{n + 1} \le \bruch {1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Beweis: Nun ja, vollst. Induktion:
Für n=1 gilt's.
Ergo gelte die Behauptung für ein festes, aber beliebiges n [mm] \in \IN. [/mm] (IV)
Dann folgt:
[mm] a_{n + 1}= \wurzel{(1- a_{n})}
[/mm]
Jetzt wird's interessant: Ich kann doch jetzt, weil ich ja NUR eine Beschränktheit zeigen muss, sagen: Wenn [mm] \wurzel{\bruch{2 - \wurzel{2}}{2}} \le a_{n} \le \bruch {1}{\wurzel{2}} [/mm] gilt, so gilt erst recht: 0 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 1
Ich meine, damit erspare ich mir den Stress mit dem Wurzelgedöns.
Würde das akzeptabel sein, folgt sofort:
Wegen 0 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 1 gilt auch 0 [mm] \le [/mm] 1 - [mm] a_{n} [/mm] und somit auch 0 [mm] \le \wurzel{1 - a_{n}} [/mm] und somit gilt die Behauptung für alle n [mm] \in \IN [/mm] und der Beweis ist erbracht.
Zur Monotonie:
Ist das nicht dasselbe in grün? Ich meine, durch die Beschränktheit ist doch irgendwie klar, dass das Teil..
Hmm, moment....oha.
Mir fällt gerade auf, dass ich ja unterscheiden muss zwischen geraden und ungeraden n.
AH!
Für gerade fällt das Teil, für ungerade steigt's. Gell?
Hmm, das ist jetzt bös'.
Äh, wie komme ich denn auf den Wert wogegen "beide" konvergieren?
Oh Mann, bitte helft mir mal.
Gruß konfuser Salomon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mi 05.12.2007 | | Autor: | statler |
Halo Salomon!
> Man soll zeigen, dass die folgende induktiv definierte
> Folge konvergiert und deren Grenzwert berechnen:
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}, a_{n + 1}[/mm] = [mm]\wurzel{(1- a_{n})}[/mm] , n
> [mm]\in \IN[/mm]
> Äh, wie komme ich denn auf den Wert wogegen "beide"
> konvergieren?
Das ist der einfachere Teil: Der Grenzwert ist der 'Fixpunkt' der Folge, für ihn gilt [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}, [/mm] also g = [mm] \wurzel{(1 - g)}. [/mm] Das gibt die kleine goldene Schnittzahl [mm] \phi \approx [/mm] 0,6...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Salomon |
Ok, das war ein brillianter Tipp!
Ich hab' mich mal über den goldenen Schnitt informiert, aber hänge jetzt an der formal richtigen Berechnung. Kannst du mir da nochmal helfen? Wenn ich's einmal "gemacht" habe, dann hab' ich Prinzip verstanden und kann damit rumfriemeln!
Und: Dieser "Schnitt" ist doch der Grenzwert beider Teilfolgen? Und den zeige ich später noch explizit?!
Ok, so: Um nochmal die Vorgehensweise in dieser Aufgabe zu strukturieren:
Ich stelle die Vermutung auf, dass die Folge zwei Teilfolgen besitzt (wobei die Folge mit n ungerade ist fällt und umgekehrt!)
Dann zeige ich, dass beide Teilfolgen beschränkt sind (Wäre es dann nicht schlauer zu zeigen, dass [mm] a_{n} \in [/mm] einem bestimmten Intervall ist?); danach, dass eine Folge monoton fällt bzw. wächst.
Letztendlich schließe ich auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert, welcher der goldene Schnitt ist.
Ist das so richtig?
Ok, ich versuch's mal und...melde mich dann nochmal.
Gruß Salomon
Boah, kann mir bitte jemand mal helfen. Ich komm GAR nicht zurecht....
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Salomon |
So goldener Schnitt ist gerafft.
Aber - zum wiederholten Mal: Muss ich zuerst Beschränktheit UND dann Monotonie beweisen oder andersherum oder ist es völlig egal...?? Wenn ich darüber sinniere, ist es wurscht!!
Nun: Ich komme einfach auf keinen gescheiten Induktionsbeweis bei der obigen Aufgabe. Vielleicht ein klitzekleiner Tipp?
Nützt es mir etwas im Beweis (der Monotonie), dass wenn [mm] a_{2k} [/mm] > [mm] a_{2(k+1)} [/mm] gilt, auch [mm] a_{2(k+2)} [/mm] > [mm] a_{2(k+3)} [/mm] gilt? Ich probiere die ganze Zeit damit etwas rumzuknausern..bei einer anderen Aufgabe hat's hingehauen....bei der..nun ja! Nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Do 06.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> So goldener Schnitt ist gerafft.
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> Aber - zum wiederholten Mal: Muss ich zuerst Beschränktheit
> UND dann Monotonie beweisen oder andersherum oder ist es
> völlig egal...?? Wenn ich darüber sinniere, ist es
> wurscht!!
Das ist wurscht, aber die Folge insgesamt ist ja nicht monoton.
> Nun: Ich komme einfach auf keinen gescheiten
> Induktionsbeweis bei der obigen Aufgabe. Vielleicht ein
> klitzekleiner Tipp?
Ich habe ihn auch nicht, in der S-Bahn ist mir nix eingefallen.
> Nützt es mir etwas im Beweis (der Monotonie), dass wenn
> [mm]a_{2k}[/mm] > [mm]a_{2(k+1)}[/mm] gilt, auch [mm]a_{2(k+2)}[/mm] > [mm]a_{2(k+3)}[/mm]
> gilt? Ich probiere die ganze Zeit damit etwas
> rumzuknausern..bei einer anderen Aufgabe hat's
> hingehauen....bei der..nun ja! Nicht!
Mal so ins Blaue: Da wir doch einen starken Verdacht haben, was der Grenzwert g ist, kann man so etwas zeigen wie
[mm] |a_{n+1} [/mm] - g| < [mm] k*|a_{n} [/mm] - g| mit k < 1? Vielleicht nur für die beiden Teilfolgen?
Was für mathematische Waffen stehen dir denn so zur Verfügung? An irgend einer Stelle des Beweises muß auch der Startwert eingehen, wenn man mit 0 oder 1 anfängt sieht die Folge anders aus.
Viel Spaß, ich denk weiter nach, man hat ja Ehrgeiz.
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Fr 07.12.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Salomon!
> Nun: Ich komme einfach auf keinen gescheiten
> Induktionsbeweis bei der obigen Aufgabe. Vielleicht ein
> klitzekleiner Tipp?
Auf einen schicken Induktionsbeweis komme ich auch nicht. Aaaber: Ich wüßte einen Beweis mit Mitteln der Funktionalanalysis. Die Funktion f(x) = [mm] \wurzel{(1-x)} [/mm] ist auf dem Intervall (0, 1) kontrahierend, auf jedem abgeschlossenen Teilintervall kann man den Kontraktionsfaktor L durch die Ableitung abschätzen, und wenn man den Fixpunkt von f kennt, der mal eben g heißen soll, gilt:
|f(g) - f(x)| [mm] \le [/mm] L|g - x|, also wegen f(g) = g
|g - f(x)| [mm] \le [/mm] L|g - x| mit L < 1 in der Nähe von g.
D. h. die Abstände der x'e (das sind deine Folgenglieder) zum g werden immer kleiner.
(Falls dir das fremd ist, nimm ein Buch über Funktionalanalysis oder numerische Mathematik, z. B. den Collatz.)
Ich wüßte gerne, welche Lösung hier denn erwartet wurde, ich tippe, daß man da irgend einen Dreh braucht, auf den wir gerade nicht kommen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Salomon!
Sieh mal hier, da wurde eine sehr ähnliche Folge ausführlich besprochen.
Zur Vorgehensweise: wenn Du sowohl die Beschränktheit als auch die Monotonie der Folge nachgewiesen hast (jeweils mittels vollständiger Induktion), folgt daraus unmittelbar die Konvergenz der Folge.
Gruß vom
Roadrunner
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> Also:
> Man soll zeigen, dass die folgende induktiv definierte
> Folge konvergiert und deren Grenzwert berechnen:
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}, a_{n + 1}[/mm] = [mm]\wurzel{(1- a_{n})}[/mm] , n
> [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
kannst Du die Lösung hier einstellen, wenn Ihr sie dann habt?
Es interessiert mich brennend, wie Ihr das machen sollt, ich bin nämlich auch auf der Suche nach einem "schicken" Induktionsbeweis für die Monotonie der beiden Teilfolgen gescheitert - obgleich ich mir sicher war, daß das potteinfach ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 So 09.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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