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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:45 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Konvergenz der rekursiv defnierten Folgen
[mm] a)a_{n+1}:=1/2(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}}) ,a_{1}> [/mm] 1
[mm] b)a_{n+1}:=\wurzel{c+a_{n}} ,a_{0}=0,c [/mm] > 0
und berechnen Sie die Grenzwerte. |
Hallo,
ZU A)
ich bin nun schon auf eine idee gekommen, aber bin mir da noch nich so sicher.
[mm] a_{n}\to [/mm] a [mm] a_{n+1} \to [/mm] a
[mm] a=1/2(a+\bruch{2}{a}) [/mm]
bin dann nach umstellen auf das gekommen:
[mm] a=1/2(a+\bruch{2}{a}) [/mm] |*2
[mm] 2a=a+\bruch{2}{a} [/mm] |-a
[mm] 2a-a=\bruch{2}{a}) [/mm] |*a
a=2
hab ich damit jetzt aufgabe A) gelöst?
ZU B)
da habe ich es auf die selbe art versucht:
[mm] a_{n}\to [/mm] a [mm] a_{n+1} \to [/mm] a
[mm] a:=\wurzel{c+a}
[/mm]
hier komme ich nicht mehr weiter.
ich hoffe ihr könnt mir helfen!
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Deine Aufgabe b.) wurde z.B. hier ausführlich diskutiert und behandelt.
Und auch die Aufgabe a.) funktioniert nach demselben Schema:
- mittels vollständiger Induktion die Beschränktheit sowie die Monotonie zeigen.
- Grenzwert mit dem Ansatz $a \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo Loddar,
der Ansatz, den ich im vorherigen post geschrieben habe, ist aus einer mathe übung zu genau solch einer aufgabe.
gibt es da mehrere Lösungswege? vollständige Induktion fällt mir doch recht schwer.
LG, Toni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Fr 04.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Toni
Der Ansatz ,den du hast ist völlig richtig, wenn man bewiesen hat, dass der GW existiert. WENN UND NUR WENN die Folge einen GW hat, dann kann man ihn so ausrechnen.! Beispiel [mm] a_{n+1}=a_n^2 [/mm] , [mm] a_0=2 [/mm] konvergiert nicht, durch ausrechnen findest du aber den falschen GW 1 oder 0!
Also muss man ERST die Konv. beweisen, dann den GW bestimmen wie du es gemacht hast.
(Man darf natürlich vorher mal probieren, was der GW wäre falls.., und kann die Wissen manchmal im Beweis verwenden!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 05.01.2008 | | Autor: | patsch |
Hallo,
zu b)
Das die Monotonie streng monoton wachsend ist, das habe ich ja schon herausgefunden. Nun muss man doch eine Vermutung aufstellen und somit eine obere Schranke der Folge festlegen. Anschließend kann ich doch dann mittels vollständiger Induktion die Beschränktheit ausrechnen.
Meine Frage ist, ob ich einfach eine willkürliche Zahl für diese obere Schranke wählen kann oder kann man sich die irgendwo herleiten?
mfg patsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 05.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man kann immer eine Zahl, die garantiert größer ist nehmen, wenn man es damit zeigen kann. aber hier hängt die obere Schranke ja wohl von c ab.
d.h. ob du [mm] c^2, [/mm] 100c oder [mm] 10^{17}c^2+1000 [/mm] oder noch was willkürlicheres nimmst ist egal, die Hauptsache ist du zeigst es ist ne obere Schranke.
da du den GW ja (falls es ihn gibt) ausrechnen kannst, kannst du dich daran orientieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 05.01.2008 | | Autor: | patsch |
Hallo
zu a)
Frage zur Monotonie der Zahlenfolge.
Ich habe als IV: [mm]a_n[/mm] < [mm] a_{n-1}[/mm]. Diese Ungleichung muss ich doch dann beweisen, doch ich erhalte nur [mm]\bruch{a_n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm] < [mm]\bruch{a_{n-1}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{a_{n-1}}[/mm].
Man muss doch mit Hilfe der IB die IV beweisen oder? Ich habe schon einiges probiert, aber ich komme nicht auf die IV.
mfg patsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 05.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst das nicht einfach beweisen. a1=1,1 folgt a2=1,45>a1!
wie du auf deine Formel kommst weiss ich nicht.
du willst dich [mm] a_{n+1}
d.h. [mm] a_n/2+1/a_n
das kannst du nur, wenn du [mm] an>\wurzel{2} [/mm] anfängt vorraussetzt. und zeigst, dass wenn man mit [mm] a1<\wurzel{2} [/mm] anfängt a2 [mm] schon>\wurzel{2}.
[/mm]
Gruss leduart
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