Maximum-Likelihood 'kontrolle' < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Aufgabe
Beim Schwarzfahren mit der Bahn werde man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p erwischt. Nun sitzen drei ertappte Schwarzfahrer nach der Kontrolle zusammen und erzählen sich, dass sie vorher bereits 4, 8 bzw. 15 mal unbestraft ohne Fahrschein gefahren sind.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis in Abhängigkeit von p.
(b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p in dem Modell und den Maximum-Likelihood-Schätzwert unter diesen Beobachtungen.
Hinweis: Die Aufgabe führt auf die Schätzung des Parameters bei der geometrischen Verteilung. Sehen Sie die einzelnen Kontrollen als unabhängig an. |
Habe hier Schwierigkeiten. Schaut mal bitte.
Zur geometrischen Verteilung kann ich sagen:
[mm] P(X=k)=p(1-p)^{k-1}, [/mm] mit k [mm] \in \IN
[/mm]
Das hier ist ein diskreter Fall also:
[mm] L(x_1,...,x_n,\Theta)=P_\Theta(X_1=x_1),...,P_\Theta(X_n=x_n); ,\forall x_1,...,x_n \in \IR^n
[/mm]
[mm] X_i(\omega)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \mbox{ die i-te Kontrolle ein Schwarzfahrer erwischt} \\ 0, & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Hier ist nach 4,8 und 15 Stichproben gefragt.
Also ich würde es so beschreiben
[mm] a)P_\Theta((X_1,...,X_n)=(x_1,...,x_n))= [/mm] p * [mm] (1-p)^{n-1}
[/mm]
Also für dieses Ereignis = p * [mm] (1-p)^2
[/mm]
b) 'Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p in dem Modell ...'
Hier habe ich was gefunden
https://matheraum.de/forum/Maximum-Likelihood-Schaetzer/t345796.
[mm] p^{M} (X_1,...,X_n) [/mm] = $ [mm] \produkt_{i=1}^{n}p(1-p)^{k_i-1} [/mm] $ = $ [mm] p^n(1-p)^{n\overline{k}-n} [/mm] $ , was meint hier genau [mm] \overline{k} [/mm] ?
=$ n [mm] \ln(p) +(n\overline{k}-n)\ln(1-p) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{n-np+np-np\overline{k}}{p-p^2}=\bruch{n-np\overline{k}}{p-p^2} [/mm] $.
nach was muß ich hier denn Ableiten? Zur überprüfung ob es ein Maximum ist? Muß ich dann 2 mal Ableiten und in der 1. die Nulsstellen finden?
Oder gehts auch kürzer?
2.Teil b)
'...und den Maximum-Likelihood-Schätzwert unter diesen Beobachtungen. '
so?
[mm] p^{M} (4,8,15)=\bruch{3-3p{4}}{p-p^2} [/mm] * [mm] \bruch{3-3p{8}}{p-p^2} [/mm] * [mm] \bruch{3-3p{15}}{p-p^2} [/mm]
schönen Gruß!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo nochmals :),
So OK?
$ [mm] a)P_\Theta((X_1,...,X_n)=(x_1,...,x_n))= [/mm] $ p * $ [mm] (1-p)^{n-1} [/mm] $
Also für dieses Ereignis = p * $ [mm] (1-p)^2 [/mm] $
2.Teil b)
'...und den Maximum-Likelihood-Schätzwert unter diesen Beobachtungen. '
so?
[mm] p^{M} (4,8,15)=\bruch{3-3p* (\bruch{4+8+15}{3}) }{p-p^2} [/mm]
und
b) 'Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p in dem Modell ...'
$ [mm] p^{M} (X_1,...,X_n) [/mm] $ = [mm] \bruch{n-np\overline{k}}{p-p^2} [/mm] , mit $ [mm] \bar k=\sum_{i=1}^nk_i/n [/mm] $.
>'geschlossene Form fuer den Schaetzer'
ist das hier möglich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 15.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo nochmals :),
> So OK?
> [mm]a)P_\Theta((X_1,...,X_n)=(x_1,...,x_n))=[/mm] p * [mm](1-p)^{n-1}[/mm]
> Also für dieses Ereignis = p * [mm](1-p)^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast hier [mm] $k_1=5$, $k_2=9$ [/mm] und [mm] $k_3=16$, $\bar [/mm] k=10$. Also ist
[mm] $p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}=p^3(1-p)^{3\times10-3}=p^3(1-p)^{27} [/mm] $
>
>
>
> und
> b) 'Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p in
> dem Modell ...'
> [mm]p^{M} (X_1,...,X_n)[/mm] = [mm]\bruch{n-np\overline{k}}{p-p^2}[/mm] ,
> mit [mm]\bar k=\sum_{i=1}^nk_i/n [/mm].
> >'geschlossene Form fuer den Schaetzer'
> ist das hier möglich?
>
Wo ist das Problem? Im Link steht die Loesung...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Wie kürzt man Maximum-Likelihood-Schätzer eigentlich ab? so $ [mm] \hat [/mm] p $?
Also $ [mm] \hat [/mm] p $ = $ [mm] p^n(1-p)^{n\overline{k}-n} [/mm] $ ?
> > [mm]a)P_\Theta((X_1,...,X_n)=(x_1,...,x_n))=[/mm] p *
> [mm](1-p)^{n-1}[/mm]
> > Also für dieses Ereignis = p * [mm](1-p)^2[/mm]
>
>
>
> Du hast hier [mm]k_1=5[/mm], [mm]k_2=9[/mm] und [mm]k_3=16[/mm], [mm]\bar k=10[/mm]. Also
> ist
>
>
> [mm]p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}=p^3(1-p)^{3\times10-3}=p^3(1-p)^{27}[/mm]
Also das ist doch jetzt der 2.Teil von der b) oder?
'...und den Maximum-Likelihood-Schätzwert unter diesen Beobachtungen. '
Also $ [mm] \hat [/mm] p $(5,9,16) [mm] =p^3(1-p)^{27}
[/mm]
Den 1. Teil von b) versteh ich jetzt.
> > b) 'Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p
Demnach ist doch noch
'(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis in Abhängigkeit von p.'
Das müßte doch bei der geometrischen Verteiung so aussehen
$ [mm] a)P_\Theta((X_1,...,X_n)=(x_1,...,x_n))= [/mm] $ p * $ [mm] (1-p)^{n-1} [/mm] $
> Also für dieses Ereignis = p * $ [mm] (1-p)^2 [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 15.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Wie kürzt man Maximum-Likelihood-Schätzer eigentlich ab? so
> [mm]\hat p [/mm]?
Z.B.
> Also [mm]\hat p[/mm] = [mm]p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm] ?
Du wirfst hier einiges durcheinander.
[mm] $p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}$ [/mm] ist (hier) die Likehoodfunktion.
Der ML-Schaetzer hat Realisationen, wo die Likelihoodfunktion ihr Maximum hat (sofern das eindeutig ist). Gemaess dem o.g. Link passiert das bei [mm] $\hat p=1/\bar [/mm] k$.
Ich fuerchte, du musst dich erst einmal etwas in die Materie einlesen ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Ok dann ordne ich mich mal :) .
a)
L(p)= [mm]p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm] [mm] =p^3(1-p)^{3\times10-3}=p^3(1-p)^{27} [/mm]
b)Bestimmung des Maximum-Likelihood-Schäters für p
L(p)= [mm] \produkt_{i=1}^{n}p(1-p)^{k_i-1} [/mm] = [mm] p^n(1-p)^{n\overline{k}-n} [/mm]
Umformung für die Ableitung
=$ n [mm] \ln(p) +(n\overline{k}-n)\ln(1-p) [/mm] $
Ableitung zur Bestimmung des Maximum-Likelihood-Schäters für p
L'(p)= $ [mm] \bruch{n-np+np-np\overline{k}}{p-p^2}=\bruch{n-np\overline{k}}{p-p^2} [/mm] $.
Daraus folgt ,mit Kontrolle des Maximums,
Schätzer $ [mm] \hat [/mm] p $ [mm] =1/\overline{k}.
[/mm]
hier der 2.Teil von b)
'und den Maximum-Likelihood-Schätzwert unter diesen Beobachtungen. '
[mm] L(p)=p^3(1-p)^{3\times10-3}=p^3(1-p)^{27} [/mm]
L'(p)= [mm] 3p^2(1-p)^{27} -27p^3(1-p)^{26} [/mm] soweit ok?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 15.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ok dann ordne ich mich mal :) .
>
> a)
> L(p)= [mm]p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm]
> [mm]=p^3(1-p)^{3\times10-3}=p^3(1-p)^{27}[/mm]
>
> b)Bestimmung des Maximum-Likelihood-Schäters für p
> L(p)= [mm]\produkt_{i=1}^{n}p(1-p)^{k_i-1}[/mm] =
> [mm]p^n(1-p)^{n\overline{k}-n}[/mm]
>
> Umformung für die Ableitung
> =[mm] n \ln(p) +(n\overline{k}-n)\ln(1-p)[/mm]
>
> Ableitung zur Bestimmung des Maximum-Likelihood-Schäters
> für p
> L'(p)=
> [mm]\bruch{n-np+np-np\overline{k}}{p-p^2}=\bruch{n-np\overline{k}}{p-p^2} [/mm].
>
> Daraus folgt ,mit Kontrolle des Maximums,
> Schätzer [mm]\hat p[/mm] [mm]=1/\overline{k}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hier der 2.Teil von b)
> 'und den Maximum-Likelihood-Schätzwert unter diesen
> Beobachtungen. '
> [mm]L(p)=p^3(1-p)^{3\times10-3}=p^3(1-p)^{27}[/mm]
> L'(p)= [mm]3p^2(1-p)^{27} -27p^3(1-p)^{26}[/mm] soweit ok?
Ja. Aber oben hast du doch schon den allgemeinen Fall abgehandelt. Warum setzt du nun nicht einfach ein?
Noch ein Tipp. Es koennte einfacher werden, wenn du die Likehoodfunktion logarithmierst. Das maximierende [mm] $\hat [/mm] p$ stimmen sowohl fuer die Likelihood- als auch die Log-Likelihoodfunktion ueberein.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Ok habe jetzt gezeigt das p=0,1 ein maximum ist.
Vielen Dank für deine unterstützung :)
schönene Abend noch
|
|
|
|
