Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Do 11.12.2014 | | Autor: | mathswho |
| Aufgabe | | Untersuche Sie die Folge [mm] {a_{n}} [/mm] mit [mm] a_{1}:= \wurzel{2} [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\wurzel{a_{n}+2} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] auf Monotonie und Beschränktheit und geben Sie, falls möglich, auch den Grenzwert an. |
Hallo,
Ich habe überhaupt keine Idee wie ich das ansetzen kann.
Hätte die Vermutung, dass die folgende Formel was damit zu tun hat:
[mm] |a_{n}-a{m}|≤ \varepsilon [/mm] für n,m ≥ N
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Do 11.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche Sie die Folge [mm]{a_{n}}[/mm] mit [mm]a_{1}:= \wurzel{2}[/mm] und
> [mm]a_{n+1}:=\wurzel{a_{n}+2}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] auf Monotonie und
> Beschränktheit und geben Sie, falls möglich, auch den
> Grenzwert an.
> Hallo,
> Ich habe überhaupt keine Idee wie ich das ansetzen kann.
Die Aufgabe stinkt nach dem Monotoniekriterium !
Zeige (induktiv): [mm] a_n \le [/mm] 2 für jedes n
Zeige ebenfalls induktiv: [mm] a_n \le a_{n+1} [/mm] für jedes n.
FRED
>
> Hätte die Vermutung, dass die folgende Formel was damit zu
> tun hat:
> [mm]|a_{n}-a_{m}|≤ \varepsilon[/mm] für n,m ≥ N
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 11.12.2014 | | Autor: | mathswho |
[mm] a_{1}:= \wurzel{2} [/mm]
[mm] a_{n+1}:=\wurzel{a_{n}+2} [/mm] -> monoton steigend, da:
Beweis durch vollständige Induktion zu zeigen [mm] a_{n}≤a_{n+1} \forall [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
für [mm] a_{n}: \wurzel{2} [/mm] ≤ [mm] \wurzel{\wurzel{2}+2}
[/mm]
I.V. [mm] a_{n} [/mm] ≤ [mm] a_{n+1} [/mm] gilt für ein beliebiges n [mm] \in \IN
[/mm]
I.S. zu zeigen [mm] a_{n+1}≤ a_{n+2}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] ≤ [mm] a_{n+1} [/mm] => [mm] a_{n+2} [/mm] ≤ [mm] a_{n+1}+2 [/mm] => [mm] \wurzel{a_{n}+2} [/mm] ≤ [mm] \wurzel{a_{n+1}+2} [/mm] => [mm] a_{n+1}≤a_{n+2}
[/mm]
-> Die Folge ist nach unten durch [mm] a_{n}:=\wurzel{2} [/mm] beschränkt, da sie monoton steigend ist und [mm] \wurzel{2} [/mm] das erste Glied ist.
->Grenzwert: Der Grenzwert von [mm] {a_{n}} [/mm] wird als g bezeichnet, dann gilt:
[mm] a_{n+1}->g, \wurzel{a_{n}+2}->\wurzel{g+2} [/mm] => g = [mm] \wurzel{g+2}
[/mm]
[mm] \gdw g^2=g+2
[/mm]
[mm] \gdw g^2-g-2=0
[/mm]
Da g>0 folgt : g= [mm] \bruch{1}{2}+\wurzel{-\bruch{1}{2}^2+2}=2
[/mm]
=> g=2.
-> Die Folge ist beschränkt.
So richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 11.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
deinen Folgepfeil in der induktion kann ich (man?) nicht nachvollzuehen.
wenn eine Folge monoton steigend und nach unten beschrankt istm hilft das nicht bei der Konvergenz, sieh die Folge [mm] 2^n [/mm] die durch 1 nach unten beschraänkt ist.
du brauchst eine obere Schranke. die solltest du vor der Monotonie finden, dann kannst du die monotonie leichter zeigen, denn die hast du bisher falsch.
vielleicht schreibst du unter oder neben dein => Pfeile eine Begründung, warum sie gelten.
z.B ist der 1te Pfeil wohl nur eine Absichtserklärung, der letzte Pfeil nicht begründet
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 11.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathswho!
Schau mal hier; da wurde diese Folge ausführlich behandelt.
Gruß
Loddar
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