Reihenkonvergenz allg. (2) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei eine Reihe
S = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] [A+B+C] gegeben. A,B,C seien Folgen. |
Dann gilt ja
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}A [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}B [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}C
[/mm]
Bzgl. Konvergenz kann man ja jetzt alle 3 Reihen separat untersuchen.
(1)
Angenommen, eine dieser 3 Teilreihen DIVERGIERT - kann man daraus schließen, dass die ganze Reihe S divergiert? Scheint doch plausibel, oder?
--Ich hatte das vermutet, wurde in einem konkreten Bsp. (s. u) vom Gegenteil überzeugt.
(2)
konkretes Bsp:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n+1/(n(n+1))] [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n] [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}1/(n(n+1)) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n] [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}1/n [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/(n+1)]
[/mm]
Der mittlere Summand [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}1/n [/mm] divergiert. Die anderen beiden Summanden existieren als Grenzwerte, sie konvergieren also. Mir erscheint es jetzt etwas unverständlich, dass die gesamte Reihe konvergieren kann, wo doch dort letztlich steht unter Berücksichtigung des jeweiligen Konvergenzverhaltens
(vorhandener Limes) + (kein Limes->Divergenz) + (vorandener Limes) = das soll einen eindeutigen Grenzwert ergeben?.
Kann man die Aufgabe mit dem Ansatz
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n] [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}1/n [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/(n+1)] [/mm] lösen?
Fernab der Lösung (Stichworte): [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n] [/mm] : geometr. Reihe (Indexverschiebung!), [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}1/(n(n+1)) [/mm] : Teleskopsumme.
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Hallo,
> Sei eine Reihe
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> S = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[/mm] [A+B+C] gegeben. A,B,C seien
> Folgen.
> Dann gilt ja
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}A[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}B[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}C[/mm]
>
> Bzgl. Konvergenz kann man ja jetzt alle 3 Reihen separat
> untersuchen.
>
> (1)
> Angenommen, eine dieser 3 Teilreihen DIVERGIERT - kann man
> daraus schließen, dass die ganze Reihe S divergiert?
> Scheint doch plausibel, oder?
> --Ich hatte das vermutet, wurde in einem konkreten Bsp.
> (s. u) vom Gegenteil überzeugt.
>
> (2)
> konkretes Bsp:
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n+1/(n(n+1))][/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/(n(n+1))[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/n[/mm] - [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/(n+1)][/mm]
>
> Der mittlere Summand [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/n[/mm] divergiert.
> Die anderen beiden Summanden existieren als Grenzwerte, sie
> konvergieren also.
Einspruch: nur der erste Summand konvegriert, die beiden anderen divergieren.
Für deine allgemeinere Frage oben muss man m.E. nach noch zwischen bestimmter Divergenz und Divergenz, die nicht bestimmt ist, unterscheiden.
Gruß, Diophant
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Hiho,
> Dann gilt ja
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}A[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}B[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}C[/mm]
Da steht nicht einmal eine Aussage. Da kann also nichts gelten.
> Bzgl. Konvergenz kann man ja jetzt alle 3 Reihen separat untersuchen.
Nein, ohne weitere Annahmen kann man das nicht.
>
> (1)
> Angenommen, eine dieser 3 Teilreihen DIVERGIERT - kann man
> daraus schließen, dass die ganze Reihe S divergiert?
Nein.
[mm] $A_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2}, [/mm] B=1, C=-1$
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 09.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei eine Reihe
>
> S = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[/mm] [A+B+C] gegeben. A,B,C seien
> Folgen.
dann schreibe doch direkt (ich definiere kurz [mm] $\sum:=\sum_{n=1}^\infty$)
[/mm]
[mm] $\sum (A_n+B_n+C_n)\,.$
[/mm]
> Dann gilt ja
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}A[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}B[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}C[/mm]
I.a. ist diese Gleichheit (die Du gar nicht erwähnst, aber vermutlich meinst)
falsch. Sie gilt aber, wenn alle drei Reihen konvergieren. Sind zwei der
drei Reihen (etwa in [mm] $\IR$) [/mm] konvergent, dann bestimmt die dritte, ob
die Ausgangsreihe [mm] $\sum (a_n+b_n+c_n)$ [/mm] konvergiert. Ist allerdings nur
eine konvergent, und die beiden anderen divergent, so wirst Du i.a. keine
Aussage treffen können. Und das gleiche Problem haben wir, wenn alle drei
divergent sind.
> Bzgl. Konvergenz kann man ja jetzt alle 3 Reihen separat
> untersuchen.
Du kannst natürlich immer
[mm] $\sum a_n,$ $\sum b_n$ [/mm] und [mm] $\sum c_n$
[/mm]
auf Konvergenz untersuchen. Du kannst halt nur aus diesen Ergebnissen
nicht immer auf (die Konvergenz oder den Reihenwert der Reihe)
[mm] $\sum (a_n+b_n+c_n)$
[/mm]
zurückschließen.
> (1)
> Angenommen, eine dieser 3 Teilreihen DIVERGIERT - kann man
> daraus schließen, dass die ganze Reihe S divergiert?
Wenn die anderen beiden konvergieren (Konvergenz etwa in [mm] $\IR$ [/mm] ist gemeint), dann ja.
> Scheint doch plausibel, oder?
> --Ich hatte das vermutet, wurde in einem konkreten Bsp.
> (s. u) vom Gegenteil überzeugt.
Das ist kein Gegenbeispiel, es sei denn, Du meintest oben mit "eine divergiert"
tatsächlich, dass auch mehr als eine divergent sein darf. Aber diesen Fall
habe ich wenigstens in meiner Antwort nicht eingeschlossen.
> (2)
> konkretes Bsp:
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n+1/(n(n+1))][/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/(n(n+1))[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/n[/mm] - [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/(n+1)][/mm]
>
> Der mittlere Summand [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/n[/mm] divergiert.
> Die anderen beiden Summanden existieren als Grenzwerte,
Wenn der Grenzwert [mm] $-\,\infty$ [/mm] ist, liegt auch keine Konvergenz in [mm] $\IR$ [/mm] vor!
> sie konvergieren also. Mir erscheint es jetzt etwas
> unverständlich, dass die gesamte Reihe konvergieren kann,
> wo doch dort letztlich steht unter Berücksichtigung des
> jeweiligen Konvergenzverhaltens
>
> (vorhandener Limes) + (kein Limes->Divergenz) + (vorandener
> Limes) = das soll einen eindeutigen Grenzwert ergeben?.
Da steht aber
"vorh. Limes + [mm] $\infty$ +$(-\infty)$"
[/mm]
bei den "Reihenwerten"
> Kann man die Aufgabe mit dem Ansatz
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/n[/mm]
> - [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/(n+1)][/mm] lösen?
Nein, aber mit dem Tipp:
Um
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
[/mm]
zu berechnen: Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}\,,$
[/mm]
was man durchaus auch mit Induktion zeigen könnte. Aber einfacher:
[mm] $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^N (\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1})=...=\left(\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\right)-\sum_{k=2}^{N+1}\frac{1}{k}=...$
[/mm]
Ergänze die ... !
Was folgt jedenfalls mit
[mm] $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}$
[/mm]
für
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=\lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}$?
[/mm]
> Fernab der Lösung (Stichworte): [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm]
> : geometr. Reihe (Indexverschiebung!), [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/(n(n+1))[/mm]
> : Teleskopsumme.
S.o.! Ansonsten: Ich habe zur Teleskopsumme eh mal einen Artikel verfasst:
 Teleskopsumme
Da steht eigentlich alles drin, sogar das Beispiel hier...
P.S. Die Frage oben ist eigentlich vollkommen analog zu der Frage, wann
eine Summenfolge, gebildet aus drei Folgen, konvergiert. D.h.:
Wann kann man sagen, dass
[mm] $(s_n):\equiv(a_n+b_n+c_n)$
[/mm]
konvergiert, wenn man Wissen über [mm] $(a_n),$ $(b_n)$ [/mm] und [mm] $(c_n)$ [/mm] hat.
Das liegt daran, dass eine Reihe, der man ja auch das Symbol [mm] $\sum_{n=1}^\infty x_n$ [/mm] gibt,
erstmal nichts anderes als die Folge ihrer Teilsummen ist.
(Siehe auch: das, was ich hier (klick!) mal dazu geschrieben habe.
Es gibt auch noch einige andere Threads und auch eine Diskussion mit Fred
dazu...)
Und bei Deiner Aufgabe ist es jetzt so:
Du hast eigentlich zwei konvergente Folgen als Summenfolge mit
Folgegliedern definiert per
[mm] $a_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k}$
[/mm]
und
[mm] $b_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k*(k+1)}\,.$
[/mm]
Jetzt zerstörst Du das, was Du hast, leider, indem Du
[mm] $b_n=c_n+d_n$
[/mm]
schreibst, wobei [mm] $(c_n)$ [/mm] und [mm] $(d_n)$ [/mm] beide in [mm] $\IR$ [/mm] divergieren...
Das ist vergleichbar, wie wenn Du
[mm] $\lim_{n \to \infty} (\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n^2})=\lim_{n \to \infty}(\tfrac{1}{n}+\tfrac{n^3+1}{n^2}-n)$
[/mm]
umschreiben würdest. Wobei es bei den Reihen ja nicht so offensichtlich ist,
wie man den Reihenwert
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
[/mm]
berechnen kann. Aber Du solltest Dir durchaus klarmachen können, dass
diese Reihe konvergiert!
Dann kann man nämlich durchaus auch erstmal eine Variable für den
Reihenwert einführen, und schonmal weiterrechnen. Am Ende kann man
sich dann um die konkrete Berechnung kümmern!
Gruß,
Marcel
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OK danke für die ausführliche Antwort!
> dann schreibe doch direkt (ich definiere kurz
> [mm]\sum:=\sum_{n=1}^\infty[/mm])
>
> [mm]\sum (A_n+B_n+C_n)\,.[/mm]
>
> > Dann gilt ja
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}A[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}B[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}C[/mm]
>
> I.a. ist diese Gleichheit (die Du gar nicht erwähnst, aber
> vermutlich meinst)
> falsch. Sie gilt aber, wenn alle drei Reihen konvergieren.
Damit lösen sich nun auch alle meine Widersprüche auf!
...
> > Kann man die Aufgabe mit dem Ansatz
> > [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/3^n][/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}1/n[/mm]
> > - [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[1/(n+1)][/mm] lösen?
>
> Nein, aber mit dem Tipp:
> Um
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}[/mm]
>
> zu berechnen: Für jedes [mm]N \in \IN[/mm] ist
>
> [mm]\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}\,,[/mm]
>
Genau dieser Tipp hat mich ehrlich gesagt auf die falsche Fährte mit der gliedweisen Addition der Reihe gelockt. Dabei hätte ich einfach mal ein paar Folgenglieder aufschreiben sollen um zu erkennen, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt, womit es ja recht einfach wird.
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