Summe/Grenzw. unendliche Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Do 21.03.2013 | | Autor: | koa24 |
| Aufgabe | Finden Sie die Summe der folgenden Reihen:
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=3}^{\infty} \bruch{1}{i(i-1)} [/mm] |
Hallo, bevor ich wieder zum Raucher werde wollte ich hier mal nachfragen ^^
Die Lösungen sind mir gegeben, aber selbst ein Lösungsansatz scheint bei mir weit entfernt. :/
a) wie kanns anders sein: [mm] \infty
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
(PS: atm: klausurmarathon -> mein Hirn ist voll, meine Schlagadern pochern, deshalb bitte einfache antworten heute ^^)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Do 21.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo koa!
> a) wie kanns anders sein: [mm]\infty[/mm]
Dir scheint dieser Grenzwert durchaus selber bewusst zu sein. Wie begründest Du das?
Ist [mm] $a_i [/mm] \ = \ 1$ eine Nullfolge? Das wäre das notwendige Kriterium für die Konvergenz von [mm] $\summe_i^\infty a_i$ [/mm] .
Anderenfalls ist [mm] $\summe_i^\infty a_i$ [/mm] divergent. Und wenn dann ausschließlich positive Werte addiert werden, muss der Grenzwert [mm] $+\infty$ [/mm] sein.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 21.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo koa!
> b) [mm]\summe_{i=3}^{\infty} \bruch{1}{i(i-1)}[/mm]
Hierbei handelt es sich um eine sogenannte "Teleskopsumme".
Dies wird klar, wenn Du zunächst folgende  Partialbruchzerlegung vornimmst:
[mm]\bruch{1}{i*(i-1)} \ = \ \bruch{A}{i}+\bruch{B}{i-1}[/mm]
Bestimme nun zunächst $A_$ und $B_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Do 21.03.2013 | | Autor: | koa24 |
zu a)
1 < [mm] \varepsilon
[/mm]
=> keine Nullfolge
zu b)
[mm] \bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}
[/mm]
und bei Teleskop blick ich nicht durch. ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Do 21.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu a)
>
> 1 < [mm]\varepsilon[/mm]
das ist falsch für jedes [mm] $\varepsilon \in (0,1]\,.$
[/mm]
> => keine Nullfolge
Natürlich ist mit [mm] $a_n:=1\,$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] dann [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keine Nullfolge. Nebenbei: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine
konstante reelle Folge, d.h. es gilt [mm] $x_n=c\,$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so ist
[mm] $(x_n)_n$ [/mm] genau dann eine Nullfolge, wenn [mm] $c=0\,.$
[/mm]
Der Beweis von [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] bei dieser Aussage ist trivial. Zu [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Nimm' an, es wäre $c [mm] \not=0$ [/mm] und es gelte doch [mm] $x_n \to 0\,.$ [/mm] Dann ist insbesondere
auch [mm] $\varepsilon:=|c|/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Also existiert zu diesem [mm] $\varepsilon:=|c|/2$ [/mm] ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass
[mm] $$|x_n| \le \varepsilon \text{ für alle }n \ge N\,,$$
[/mm]
insbesondere ist also auch
[mm] $$|x_N|=|c| \le |c|/2\,.$$
[/mm]
Das führt aber... zu welchem Widerspruch?? (Und mit dieser Aussage ist es
dann trivial, dass mit [mm] $a_n=1$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] keine Nullfolge gegeben sein
kann - denn hier ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine konstante Folge, deren konstanter
Wert eben nicht Null ist!)
Nebenbei: Die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1$ steht doch rein per Definitionem
für nichts anderes als der zugehörigen Folge ihrer Teilsummen [mm] $(s_k)_{k=1}^\infty$ [/mm] mit
[mm] $$s_k:=\sum_{n=1}^k 1=k\,.$$
[/mm]
In der Aufgabe wird also nichts anderes gefragt, als ob diese Folge
konvergiert. ("Normalerweise" ist damit "Konvergenz in [mm] $\IR$ [/mm] - oder auch [mm] $\IC$" [/mm] gemeint!)
> zu b)
>
> [mm]\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}[/mm]
>
> und bei Teleskop blick ich nicht durch. ^^
Da stand doch
[mm] $$\sum_{i=3}^\infty \frac{1}{i*(i\red{\;\,-\,\;}1)}\,.$$
[/mm]
(Man könnte auch die Reihe bei [mm] $i=2\,$ [/mm] starten lassen.)
1. Möglichkeit:
Für natürliches $N [mm] \ge [/mm] 3$ schreibe
[mm] $$\sum_{i=3}^N \frac{1}{i*(i-1)}$$
[/mm]
um vermittels
[mm] $$\frac{1}{i*(i-1)}=\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}\,.$$
[/mm]
Überlege Dir damit, dass für jedes natürliche $N [mm] \ge [/mm] 3$ gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\sum_{i=3}^N \frac{1}{i*(i-1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{N}\,.$$
[/mm]
(Hinweise dazu habe ich hier (klick!)
mal geschrieben - und siehe auch Loddars Hinweis!)
2. Möglichkeit:
"Schlimmstenfalls" kannst Du die Formel in [mm] $(\*)$ [/mm] auch einfach anders beweisen:
Nämlich per Induktion! Das Ganze hat aber den Nachteil, dass hier "die
Formel vom Himmel fällt", oder Du sie sonstwie irgendwie hättest
erkennen müssen. (Ausrechnen von hinreichend vielen Folgenglieder der
zur Reihe zugehörigen Teilsummenfolge und dann "gutes Raten" etwa!)
P.S. Bei beiden Möglichkeiten musst Du natürlich noch vermittels [mm] $(\*)$ [/mm] dann schlussendlich
[mm] $$\sum_{i=3}^\infty \frac{1}{i*(i-1)}=\lim_{3 \le N \to \infty} \sum_{i=3}^N \frac{1}{i*(i-1)}$$
[/mm]
bilden.
Gruß,
Marcel
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