Ungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 21.01.2006 | | Autor: | maniche |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin habe problem mit dem lösen dieser ungleichung.
Es gibt ja 2 fälle einmal wenn x+3 positiv ist und einmal wenn es negativ ist. Mit dem positiven habe ich keine Probleme:
x+3 >0
x>-3
....... führt auf
(x-1) * (x+3) > 5
x²+3x-x-3>5
......
(x+1)² > 9
x+1 > 3 und x+1<-3
x>2 und x<-4
aus x>-3 folgt
L1= x>2
so nun zum negativen und zwar
x+3<0
x<-3
führt zu
(x-1) * (x+3) <5
x²+3x-x-3<5
x²+2x-8<0
(x+1)²-9<0
(x+1²<9
x+1 < wurzel9
einmal x<2 und x>-4
ABER das kann ja net sein ? ich hab irgendwie einen fehler oder ?
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Hallo,
sag mal für welche x soll denn diese Ungleichung gelten? Setze mal x=0 ein. Dann liefert deine Ungleichung:
-1>5/3 und das ist wohl offensichtlich falsch!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo maniche,
> [mm]x-1 > \frac{5}{x+3}[/mm]
Es gibt da eine Methode mit der Du solche Ungleichungen ziemlich schnell lösen kannst. Dazu formen wir deine Ungleichung in die passende Darstellung um:
[mm]x-1 > \frac{5}{x+3} \Rightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{x+3} > \frac{5}{x+3} \Rightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{x+3} - \frac{5}{x+3} > 0[/mm]
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von Vieta gilt:
[mm]-2 = x_1 + x_2[/mm]
und
[mm]-8 = -2^3 = 2\cdot{(-4)} = x_1x_2[/mm]
Wegen [mm]-2 = 2 - 4[/mm] haben wir die ganzzahligen Nullstellen durch Probieren gefunden, und faktorisieren den Zähler des linken Terms:
[mm]\frac{(x-2)(x+4)}{x+3} > 0 \Rightarrow (x+4)(x+3)(x-2) > 0[/mm]
Der letzte Schritt ist möglich da wir ja beide Seiten mit [mm](x+3)^2[/mm] multiplizieren können. Wir müssen das hier machen um keine Lösungen zu verlieren.
Jetzt lösen wir die Ungleichung zeichnerisch nach der obigen Methode. Da der linke Term hier ein Polynom ungeraden Grades ist, müssen wir diesmal vom negativen Bereich aus zeichnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da du alle Lösungen [mm]> 0[/mm] haben willst, betrachten wir nur die positiven oberen Bereiche, und lesen ab. Die Ungleichung gilt also für alle [mm]x[/mm] aus:
[mm]\{x \in \mathbb{R} | (-4 < x < -3) \vee (2 < x)\}[/mm]
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:37 Sa 21.01.2006 | | Autor: | maniche |
ok klingt ja ganz schön der satz von vieta und vielen dank für deine mühen, aber der verwirrt mich nur und wir haben den in der vorlesung nicht benutz. Im Script steht auch nix.
Kann mir noch einer bei meinem "Lösungsansatz" helfen ?
mfg
maniche
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Hallo!
> ok klingt ja ganz schön der satz von vieta und vielen dank
> für deine mühen, aber der verwirrt mich nur und wir haben
> den in der vorlesung nicht benutz. Im Script steht auch
> nix.
Also, den Satz von Vieta lernt man teilweise auf der Schule, wenn du ihn nicht gelernt hast, kannst du ihn dir entweder angucken (ist nicht wirklich schwierig und man findet mit ein bisschen Übung sehr schnell ganzzahlige Nullstellen, wenn es welche gibt) oder du findest die Nullstellen irgendwie anders heraus. Z. B. mit der  PQFormel oder notfalls der ABCFormel - eine davon wirst du ja wohl hoffentlich kennen. Ansonsten musst du die Nullstellen eben durch Probieren oder einfaches Umformen rausfinden.
> Kann mir noch einer bei meinem "Lösungsansatz" helfen ?
Hast du dir denn eigentlich mal genau angeguckt, was Karl dir geschrieben hat? Es kann doch nicht sein, dass du nur, weil du den Satz von Vieta nicht kennst, die ganze Aufgabe anders lösen willst. Wie gesagt, mit dem Satz von Vieta findet Karl hier nur die Nullstellen der Funktion, die du auch mit den oben genannten anderen Möglichkeiten finden kannst.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 22.01.2006 | | Autor: | maniche |
ok super bin mal durchgegangen.
Jetz würde ich noch gerne 1. Wissen, woran wir erkennen, das wir mit (x+3)² multiplizieren müssen um keine lösung zu verlieren.
2Frage ist, dass das mit dem Zeichnen nen Problem ist, da wir keine grafischen taschenrechner verwenden dürfen und das manuelle zeichnen ein bisschen viel zeit in anspruch nehmen würde.
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> Jetz würde ich noch gerne 1. Wissen, woran wir erkennen,
> das wir mit (x+3)² multiplizieren müssen um keine lösung
> zu verlieren.
Das ist nicht so leicht zu erkennen (Zumindest habe ich da immer Probleme). Generell solltest Du dich an die Fausregel "Erweitern & Zusammenfassen (auf eine Seite/einen Nenner bringen)" und nicht während der Umformungen kürzen, so sollte eigentlich keine einschränkende Bedingung der ursprünglichen Ungleichung verloren gehen. (Zumindest bei rationalen Polynomungleichungen solltest man dann keine Probleme mehr haben, weil dort diese Methode funktioniert. (Warum es funktioniert, weiß ich leider nicht; wäre vielleicht eine geeignete Frage fürs Forum 'Mathe-Wettbewerbe'...)) Außerdem solltest Du auch bei Punktoperationen mit negativem Vorzeichen aufpassen, weil sich das Ungleichheitszeichen dann umdreht.
> 2Frage ist, dass das mit dem Zeichnen nen Problem ist, da
> wir keine grafischen taschenrechner verwenden dürfen und
> das manuelle zeichnen ein bisschen viel zeit in anspruch
> nehmen würde.
Du mußt ja nicht unbedingt eine geschwungene Kurve auf dem Blatt zeichnen. Eine "Zick-Zack"-Kurve würde auch reichen. Die Idee funktioniert so oder so... .
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mo 23.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Lieber maniche!
Leider war es uns nicht innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit möglich, deine Frage komplett zu beantworten.
Vielleicht hast du ja nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
liebe Grüße
Stefan
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Hallo!
Deine Rechnung ist im ersten Teil richtig.
Für x<0 hast du weiterhin angenommen, dass x<-3 ist. Daraus ergibt sich für die zweite Lösung, dass -4<x<-3 gelten muss. Das sind deine beiden Lösungsbereiche und du bist fertig.
Viel Spaß noch beim Verstehen des komplizierteren Weges,
Roland.
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