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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 29.01.2010 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Die Lebensdauer einer Glühbirne ist durch eine Zufallsvariable X mit der Dichte
[mm] f(x)=\begin{cases} ax^{2}e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] ist ein bekannter Parameter > 0.
a) Bestimme den Koeffizienten a
b) Die Verteilungsfkt. von X
c) Die W., dass eine Beobachtung von X in das Intervall [mm] (1/\lambda, \infty) [/mm] fällt. |
Ich bin mir jetzt nicht sicher, wie ich anfangen soll. Für a) kann ich mich an eine ähnliche Aufgabe erinnern. Die Dichte ist = 1, also würde ich 1 = [mm] \int_{0}^{\infty} [/mm] f(x) dx berechnen, aber das [mm] \infty [/mm] kann ja irgendwie nicht sein (eine andere Grenze sehe ich aus der Aufgabenstellung nicht (denn f(x) = [mm] ax^{2}.. [/mm] für x >= 0))
Würde mich über Lösungshinweise/Erläuterungen freuen..
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Hallo pojo,
> Die Lebensdauer einer Glühbirne ist durch eine
> Zufallsvariable X mit der Dichte
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} ax^{2}e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] ist ein bekannter Parameter > 0.
>
> a) Bestimme den Koeffizienten a
> b) Die Verteilungsfkt. von X
> c) Die W., dass eine Beobachtung von X in das Intervall
> [mm](1/\lambda, \infty)[/mm] fällt.
> Ich bin mir jetzt nicht sicher, wie ich anfangen soll.
> Für a) kann ich mich an eine ähnliche Aufgabe erinnern.
> Die Dichte ist = 1, also würde ich 1 = [mm]\int_{0}^{\infty}[/mm]
> f(x) dx berechnen, aber das [mm]\infty[/mm] kann ja irgendwie nicht
> sein (eine andere Grenze sehe ich aus der Aufgabenstellung
> nicht (denn f(x) = [mm]ax^{2}..[/mm] für x >= 0))
Die obere Grenze [mm]\infty[/mm] ist schon richtig.
>
> Würde mich über Lösungshinweise/Erläuterungen freuen..
Nun, das Integral berechnest Du dann mit partieller Integration.
Wobei bei deren Auswertung eine Grenzwertbetrachtung durchzuführen ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 29.01.2010 | | Autor: | pojo |
Bringt mich leider überhaupt nicht weiter. Ich habe partiell integriert und komme dann auf
[mm] e^{-\lambda x} \cdot \frac{x^{3}}{3}a|_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] e^{-\lambda x} \cdot \frac{x^{4}}{12}a|_{0}^{\infty}
[/mm]
Also werden beide Terme 0, weil [mm] e^{-\infty} [/mm] gegen 0 geht.
Laut Lösung muss aber a = [mm] \frac{\lambda^{3}}{2} [/mm] heraus kommen.
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Hallo pojo,
> Bringt mich leider überhaupt nicht weiter. Ich habe
> partiell integriert und komme dann auf
>
> [mm]e^{-\lambda x} \cdot \frac{x^{3}}{3}a|_{0}^{\infty}[/mm] -
> [mm]e^{-\lambda x} \cdot \frac{x^{4}}{12}a|_{0}^{\infty}[/mm]
>
> Also werden beide Terme 0, weil [mm]e^{-\infty}[/mm] gegen 0 geht.
>
> Laut Lösung muss aber a = [mm]\frac{\lambda^{3}}{2}[/mm] heraus
> kommen.
Das musst Du hier gerade anders herum wählen.
[mm]u=x^{2}[/mm]
[mm]v'=e^{\-\lambda*x}[/mm]
Dann ist, gemäß partieller Integration
[mm]\integral_{}^{}u*v' \ dx = u*v - \integral_{}^{}{u'*v \ dx}[/mm]
Damit kommst Du dann zu dem gewünschten Ergebnis.
Gruss
MathePowre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 29.01.2010 | | Autor: | pojo |
Kannst du vielleicht etwas Genaueres bzgl. des Konvergenzverhaltens sagen? Ich bin nicht unbedingt ein Mathecrack und stehe ab dem Zeitpunkt auf dem Schlauch, wo ich integriert habe und die Grenzen 0 und [mm] \infty [/mm] einsetzen soll.. ich bin immerhin schon so weit, dass ein [mm] \lambda^{3} [/mm] dabei ist. Aber jedes x würde, wenn ich [mm] \infty [/mm] einsetze, gegen [mm] \infty [/mm] oder gegen 0 gehen (was auch sonst?)
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Hallo pojo,
> Kannst du vielleicht etwas Genaueres bzgl. des
> Konvergenzverhaltens sagen? Ich bin nicht unbedingt ein
> Mathecrack und stehe ab dem Zeitpunkt auf dem Schlauch, wo
> ich integriert habe und die Grenzen 0 und [mm]\infty[/mm] einsetzen
> soll.. ich bin immerhin schon so weit, dass ein [mm]\lambda^{3}[/mm]
> dabei ist. Aber jedes x würde, wenn ich [mm]\infty[/mm] einsetze,
> gegen [mm]\infty[/mm] oder gegen 0 gehen (was auch sonst?)
Es gilt, dass die Exponentialfunktion [mm]e^{x}[/mm] ab einem bestimmten x
schneller gegen unendlich geht, als die Potenzfunktion [mm]x^{n}[/mm].
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Fr 29.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
da schau her.
vg Luis
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