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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Vollständiger Induktion, dass für alle n [mm] \in [/mm] N gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}
[/mm]
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So, da mir ja vorhin so wunderbar geholfen wurde und ich es auch verstanden habe nun, hätte ich eine weitere Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme. Eben diese da oben. Ich habe mich auch daran versucht und schreib mal auf, wie weit ich gekommen bin. Start und Annahme ist ja klar, aber beim Induktionsschritt hapert's dann irgendwie...
Start: n=1: [mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{3^1}=\bruch{3}{4}-\bruch{2*1+3}{4*3^1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{3}=\bruch{3}{4}-\bruch{2+3}{4*3}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{3}=\bruch{3}{4}-\bruch{5}{12}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{3}=\bruch{4}{12}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Annahme: Gilt für alle n in [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}+(n+1) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{3^k}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}+(n+1)=\bruch{3}{4}-\bruch{2(n+1)+3}{4*3^n^+^1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3*3^n}{4*3^n}-\bruch{2n+3}{4*3^n}+\bruch{(n+1)(4*3^n)}{4*3^n}=\bruch{3(3^n^+^1)-(2(n+1)+3)}{4*3^n^+^1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3*3^n-2n-3+(n+1)(4*3^n)}{4*3^n}=\bruch {(3*3^n)-2n-2-3}{4*3^n}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Wie komme ich von da aus dann aber zum Beweis (sollte es wirklich richtig sein)?
Grüße,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie mit Vollständiger Induktion, dass für alle n
> [mm]\in[/mm] N gilt:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}[/mm]
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> So, da mir ja vorhin so wunderbar geholfen wurde und ich es
> auch verstanden habe nun, hätte ich eine weitere Aufgabe,
> bei der ich nicht weiter komme. Eben diese da oben. Ich
> habe mich auch daran versucht und schreib mal auf, wie weit
> ich gekommen bin. Start und Annahme ist ja klar, aber beim
> Induktionsschritt hapert's dann irgendwie...
>
> Start: n=1:
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{3^1}=\bruch{3}{4}-\bruch{2*1+3}{4*3^1}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{3}=\bruch{3}{4}-\bruch{2+3}{4*3}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{3}=\bruch{3}{4}-\bruch{5}{12}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{3}=\bruch{4}{12}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Annahme: Gilt für alle n in
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}+(n+1)[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{3^k}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{4*3^n}+(n+1)=\bruch{3}{4}-\bruch{2(n+1)+3}{4*3^n^+^1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{3*3^n}{4*3^n}-\bruch{2n+3}{4*3^n}+\bruch{(n+1)(4*3^n)}{4*3^n}=\bruch{3(3^n^+^1)-(2(n+1)+3)}{4*3^n^+^1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{3*3^n-2n-3+(n+1)(4*3^n)}{4*3^n}=\bruch {(3*3^n)-2n-2-3}{4*3^n}[/mm]
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> Ist das soweit richtig? Wie komme ich von da aus dann aber
> zum Beweis (sollte es wirklich richtig sein)?
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> Grüße,
> Sebastian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
hallo!
die gleiche frage wurde vor kurzem hier gelöst
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Di 15.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Ah, danke für den Hinweis.:) Und sorry für die Unannehmlichkeit.
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